A. Lambang Vektor
Secara geometri, suatu vektor dapat dinyatakan dengan ruas garis berarah. Ruas garis berarah menyatakan vektor . Panjang ruas garis menyatakan besar vector dan anak panahnya menyatakan arah vektor Titik A disebut titik awal, titik pangkal, atau titik tangkap. Titik B disebut titik ujung atau titik terminal.
Perhatikan gambar berikut :
B. Vektor di
1. Pengertian Vektor di
Vektor di (baca : vektor di ruang dua atau vektor diruang dimensi dua) adalah vektor – vektor yang terletak pada bidang datar Perhatikan gambar berikut
1
a. Notasi Vektor di
Secara geometri, suatu vektor di yang diwakili oleh ruas garis berarah dapat digambarkan pada bidang koordinat atau bidang kartesius.
Secara aljabar (nongeometri), vektor di dapat dinyatakan dengan matriks baris atau matriks kolom yang merupakan komponen – komponen vektor, yaitu (x, y) atau , dengan x sebagai komponen horizontal dan y sebagai komponen vertikal.
b. Besar Vektor
Besar vektor dinyatakan dengan harga mutlak.
Sebuah vektor = mempunyai panjang vektor yang dilambangkan dengan . dapat ditentukan menggunakan teorema phytagoras, yaitu :
c. Vektor Satuan
Adalah vektor ysng panjangnya satu-satuan, sebuah vektor
mempunyai vektor satuan yang panjangnya satu-satuan dan searah dengan dan dilambangkan dengan . Setiap vektor yang bukan nol mempunyai vektor satuan. Vektor satuan dapat ditentukan dengan persamaan berikut.
d. Vektor Nol
Adalah vektor yang panjangnya 0 (nol) dan arahnya senbarang. Vektor nol dilambangkan dengan =
2
e. Vektor Posisi
Vektor posisi dari suatu titik adalah vektor yang titik pangkalnya di titik 0 (pangkal koordinat) dan titik ujungnya di titik yang bersangkutan. Misalkan vektor posisi titik A (3, -2)adalah = = . Perhatikan gambar berikut :
f. Kesamaan Vektor
Dua vektor atau lebih dikatakan sama jika mempunyai besar dan arah yang sama. Pada gambar berikut, vektor – vektor yang sama adalah :
Keterangan :
1. =
2. =
3
g. Vektor Berlawanan
Dua vektor dikatakan lebih atau berlawanan jika mempunyai besar yang sama tetapi arah yang berlawanan. Lihat gambar dibawah ini :
Keterangan :
1. berlawanan dengan vektor dan
2. berlawanan dengan vektor dan
2. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
a. penjumlahan vektor
Penjumlahan vektor secara Geometri
Penjumlahan vektor secara geometri dapat dilakukan dengan menggunakan dua cara yaitu : aturan segitiga dan aturan jajar genjan
» Aturan segitiga
Pada aturan segitiga, vektor resultan diperoleh dengan menempatkan titik pangkal salah satu vektor pada titik ujung vektor yang lain,lalu tarik garis yang menghubungkan kedua ujung kurva sehingga membentuk sebuah segitiga. Pada gambar dibawah ini.
4
Keterangan :
vektor merupakan vektor resultan yang titik pangkalnya adalah vektor dan titik ujungnya adalah vektor .
» Aturan Jajar Genjang
Pada aturan ini , vektor resultan diperoleh dengan mengimpitkan titik pangkal kedua vektor yang dijumlahkan , kemudian dibuat garis yang sejajar dengan kedua vektor sehingga dapat membentuk jajar genjang, selanjutnya ditarik garis diagonal dari titk pangkan kedua vektor, perhatikan pada gambar dibawah ini :
5
Penjumlahan vektor secara Aljabar (Nongeometri)
Dalam penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan menjumlahkan dua komponen-komponen dari vektor yang dijumlahkan.
Misalkan vektor = dan vektor = , maka penjumlahan kedua vektor tersebut adalah :
b. Pengurangan vektor
Pengurangan vektor secara Geometri
Sebelumnya kita telah membahas tentang ‘dua vektor yang berlawanan’,yaitu dua buah vektor yang mempunyai besar yang sama namun arah yang berlawanan, sebagai contoh , merupakan lawan dari vektor - dan merupakan lawan dari - . sementara itu, pada bilangan real berlaku hubungan : - = + (- .
Berdasarkan pengertian diatas, dapat disimpulkan jika diketahui dua buah vektor dan vektor , maka - artinya +(- )
Pengurangan vektor secara Aljabar (Non geometri)
Pengurangan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara mengurangkan komponen salah satu vektor dengan komponen vektor lain yang sesuai, misalkan diketahui vektor = dan vektor = maka pengurangan kedua vekto tersebut adalah :
6
3. Vektor Basis dalam Bidang
Sistem koordinat bidang terletak pada sumbu X dan sumbu Y.
Dalam , vektor dapat dinyatakan dengan vektor basis dan . Vektor basis adalah vektor satuan yang searah sumbu X dengan titik pangkal pada titik O. Vektor basis adalah vektor satuan yang searah sumbu Y dengan titik pangkal pada titik O.
Perhatikan gambar :
= 4 + 3
Secara umum, setiap vektor di dapat dinotasikan dalam kombinasi linier dan sebagai berikut.
Di mana adalah vektor di dengan x dan y sebagai komponen – komponennya. dan disebut vektor – vektor basis dalam bidang.
7
4. Perkalian Vektor dengan Skalar
a. Perkalian Vektor dengan Skalar secara Geometri
apabila k adalah suatu bilangan real (merupakan skalar) dan adalah vektor sembarang, maka k adalah suatu vektor yang sejajar dan panjangnya k kali panjang
Jika k> 0, maka k searah dengan
Jika k< 0, maka k berlawanan arah dengan .
Perhatikan gambar :
KETERANGAN :
Vektor = 2 (k = 2), maka vektor = 2 (k = 2), maka vektor sejajar dengan vektor . Vektor = - 3 (k = - 3), maka vektor berlawanan arah dengan vektor dan mempunyai panjang 3 kali vektor .
b. Perkalian vektor dengan skalar secara aljabar
Perkalian vektor dengan skalar secara aljabar dapat dilakukan dengan mengalikan setiap komponen pada vektor dengan skalar. Jika diketahui sebuah vektor, misalnya vektor = dan n adalah suatu bilangan real (merupakan skalar), maka n dapat mengikuti persamaan berikut.
8
c. Sifat-sifat Perkalian Vektor dengan Skalar
Apabila m dan n suatu skalar, dan vektor-vektor sembarang, maka berlaku :
m ( ) = m + m
(m + n) = m + m
m (n ) = (m n)
Contoh :
Diketahui segiempat ABCD sembarang seperti pada gambar. Titik-titik P, Q, R, dan S berturut-turut merupakan titik-titik tenga sisi AB, BC, CD, dan DA. Buktikan bahwa bangun PQRS adalah jajar genjang. Untuk menunjukkan PQRS jajar genjang, buktikan bahwa ada dua vektor sama pada sisi-sisi bangun PQRS.
Jawab:
= + = +
= + = +
= =
= =
Diperoleh =
9
5. Perbandingan Vektor di
Misalnya diketahui titik A( , ), B( , ) dan : = m : n dengan m dan n skalar dan m, n R, maka vektor posisi titik T adalah = .
Bukti:
Karena searah dengan , maka dan dapat dibandingkan, yaitu:
: = m : (m + n)
(m + n) = m
(m + n) ( - ) = m ( - )
(m + n) - (m + n) = m - m
(m + n) = (m + n) + m - m
(m +n) = m + n + m - m
(m + n) = n + m
=
Jika T terletak pada pertengahan , maka nilai m = n = k, sehingga
=
=
=
=
10
Contoh :
Diketahui ruas garis dengan titik A( - 2 , 5 ) dan B ( 10,1 ). Titik D terletak pada garis sehingga + = 1 : 3
a. Tentukan koordinat titik D
b. Jika T terletak di tengah – tengah , tentukan koordinat titik T
Jawab :
a. Menggunakan rumus perbandingan dengan m = 1 dan n = 3, diperoleh :
= = = ( 3 + )
=
=
=
=
b. Karena T terletak di tengah – tengah , maka m = n = 1,diperoleh:
=
=
=
= , jadi titik T ( 4,3 )
11
C. Vektor di
1. Sistem Koordinat dalam Ruang
Sistem koordinat ruang terdiri dari tiga sumbu, yaitu sumbu X, Y dan Z yang saling tegak lurus. Ketiga sumbu bertemu pada satu titik pangkal yang disebut pangkal koordinat.
Sistem koordinat ini mengikuti aturan putaran putar tangan kanan. Ketiga sumbu koordinat membentuk tiga bidang yaitu bidang XOZ, XOY, dan YOZ yang membagi ruang menjadi 8 bagian. Setiap titik dalam koordinat ruang ditentukan oleh pasangan terurut 3 bilangan, misalkan A (x,y,z).
Contoh :
Gambarlah posisi titik berikut pada koordinat ruang !
a. Titik A (2,1,4)
Jawab :
Z
4
1 Y
2
X
12
2. Vektor Basis dalam Ruang
Dalam koordinat bidang ( ), vektor dinyatakan dengan 2 komponen. Sementara itu dalam koordinat ruang ( ), vektor dinyatakan dengan tiga komponen,misalnya : = , merupakan bentuk vektor kolom.
Dalam koordinat ruang , vektor dapat dinyatakan dengan vektor basis , , vektor basis , masing – masing merupakan vektor satuan yang searah sumbu X, Y, Z dengan pangkal pada titik O. Secara umum, setiap vektor di R3 dapat dinotasikan dengan kombinasi linear , sebagai berikut :
Jika diketahui sebuah vektor, misalnya vektor = , maka vektor tersebut dapat dinyatakan dengan bentuk vektor basis, yaitu = ¬+ + . Besar vektor dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan dibawah ini :
3.Penjumlahan, Pengurangan dan perkalian Vektor dengan Skalar
Jika diketahui dua buah vektor = , = dan sebuah skalar misalkan m, maka penjumlahan vektor, pengurangan vektor dan perkalian vektor dengan skalar m, dapat mengikuti persmaan berikut :
a. Penjumlahan vektor
13
b. Pengurangan Vektor
c. Perkalian vektor dengan skalar m
Contoh :
Diketahui = ¬+6 + dan = ¬ - + tentukan:
Tentukan : a. -
b. +
Jawab :
a. - = - = = ¬ + 7 -
b. + = + = =5 ¬ + 5 +
14
4. Perbandingan Vektor di R3
Dalam suatu koordinat ruang titik p membagi ruas garis AB dalam perbandingan m : n apabila AP : PB = m : n . jika /p membagi AB didalam ruang garis AB, maka AP dan PB mempunyai arah yang sama, sehingga m dan n mempunyai tanda yang sama. Akan tetapi, apabila P membagi AB diluar ruas garis AB, yaitu p pada perpanjangan AB, maka AB dan PB berlawanan arah sehingga m dan n berbeda tangga.
A B
P A P n B
M n m
AP : PB = m : n AP : PB = m : ( - n ) = ( - m ) : n
Misalnaya diketahui titik A( , ) , B ( , ), dan P diantara AB denagn perbandingan AP : PB = m : n, vektor , dan masing – masing adalah vektor posisi dari A, B dan P. berdasarkan data yang ada dapat dirumuskan persamaan berikut ini :
: = m : n
n = m
n ( - ) = m ( - )
m + n = n + m
( m + n ) = n + m
15
Contoh :
Diketahui titik A ( 5, 2, 1 ) dan B ( 9, 10 , 9 ).
Tentukan vektor posisi titik P dan koordinat titik P jika P membagi AB dengan posisi :
a. 1 : 3
: = 1 : 3
=
=
=
= =
Jadi, vektor posisi titikP adalah = dan koordinat titk P adalah P ( 6 , 4 , 3 )
16
Dengan menggunakan metode – metode koordinat, posisi titik P dapat ditentukan dengan rumusan berikut :
Contoh :
Diketahui titik A ( 1, 2, 1 ) dan B ( 1 , 2 , 2 ) tentukan titik koordinatntnya dengan AP : PB = -1 : 2.
Jawab :
Xp = yp = zp =
= = =
= 1 = 2 = 0
Jadi P ( 1 , 2 , 0 )
Syarat tiga titik (A,B dan C ) segaris / koliner adalah apabila dari 3 titik tersebut dapat dibentuk dua vektor yang sati merupakan kelipatan dari vektor yang lain misalnya :
17
Contoh :
Buktikan bahwa ketiga titik A ( 2, 4, 6 ), B (14, 10, -6 ) dan C (6, 6, 2 ) adalah segaris. !
Jawab :
= - = -
- = -
= =
Ternyata :
= = 3 = 3
Karena = 3 , maka titik A, B dan C segaris…………..( Terbukti)
D. Perkalian Skalar Dua Vektor
Perkalian skalar dari dan bauk di R2 maupun di R3 adalah bilangan real yang dapat ditentukan dengan persamaan berikut ini :
masing – masing adalah besar vektor dan . Sementara itu , dalah sudut antara dua vektor tersebut, dapat ditulis : ( , ( baca : sudut antara vektor dan .
18
Contoh :
Diketahui = 6 , = 5 dan ( , ) = 300. Tentukan .
Jawab :
. = cos
= 6 . 5 cos 300
= 30
= 15
Apabila dan adalah vektor di R2 adalah bentuk komponen, misalnya
= dan = , maka perkalian skalar dan adalah bilangan real yang persamaannya dapat dapat diturunkan sebagai berikut, perhatikan gambar berikut ini :
mewakili dan mewakili .
2 = 2 = 2 2
2 = 2 = 2 2
= 2 =( )2 + ( )2
= 2 - 2 + 2 + 2 - 2 + 2 ……….. 1
19
Berdasarkan aturan kosinus, pada OAB berlaku :
AB2 = OA2 + OB2 - 2 OA OB cos
= 2 + 2 + 2 + 2 – 2 cos …….. 2
Jika persamaan (1) dan (2) kita gabungkan, maka kita dapatkn persamaan berikut ini:
– 2 cos = - 2 - 2
cos = +
cos = +
. = +
Jadi ,jika diketahui = ¬ +
= ¬ +
. adalah bilangan reak yang dapat ditentukan dengan persamaan berikut :
Contoh :
Diketahui = ¬ – = ¬ - dan = ¬ + 2 Tentukan :
a. . b. .
Jawab :
a. . = = - 4 + 3 = - 1
b. . = = 12 - 2 = 10
20
Sementara itu, apabila dan adalah vektor di R3 dalam komponen, misalnya = dan = , maka perkalian skalar dan adalah bilangan real yang persamaannya dapat iturunkan sebagai berikut, perhatikan gambar dibawah ini :
mewakili dan mewakili .
2 = 2 = 2 2 + 2
2 = 2 = 2 2 + 2
= 2 =( )2 + ( )2 + ( )2
= 2 - 2 + 2 + 2 - 2 + 2 + 2 - 2 + 2 …….. 1
Berdasarkan aturan kosinus, pada OAB berlaku :
AB2 = OA2 + OB2 - 2 OA OB cos
= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 – 2 cos …….. 2
21
Jika persamaan (1) dan (2) kita gabungkan, maka dapat kita dapatkan persamaan berikut ini.
-2 = -2 ¬– 2 ¬-2
= ¬+ ¬+
= ¬+ ¬+
= ¬+ ¬+
Jadi, jika diketahui = ¬+ +
= ¬+ + , maka :
adalah bilangan real yang dapat ditentukan dengan persamaan berikut :
Contoh :
Diketahui = ¬+ - , = ¬- 3 - dan = ¬+ + tentukan:
1. . 2. . 3. .
Jawab :
. = = 2 – 3 + 4 = 3 . = = 10 + 2 - 12 = 0
. = = 5 – 6 + 3 = - 4
22
Dari contoh di atas,hasil perkalian skalar dua vektor adalah bilangan real positif, negatif dan nol. Dengan memperhatikan persamaan . = , maka perbedaan tanda tersebut ditentukan oleh besarnya
. > 0 jika < >
. = 0 jika
. < 0 jika < ≤
Contoh :
Tentukan nilai p agar = ¬- 2p - tegak lurus = p ¬+ 2 + 4 .
Jawab :
. = 0 ( , )
= 0
– 4p – 12 = 0
(p + 2)(p – 6) = 0
P= -2 atau p= 6
Jadi agar kedua vektor tegak lurus, p= -2 dan p= 6
Pada perkalian skalar dua vektor terdapat sifat-sifat yang berlaku, antara lain :
Komutatif : =
Distributif perkalian terhadap penjumlahan : + ) =
Tidak asosiatif karena tidak terdefinisi
=
23
CONTOH
Diketahui = 2, = 3 dan , = 4.
Tentukan .
Jawab :
2 = ( ( 2= ( (
42 = + 2 + = 2 - 2 + 2
16 = 2 + 2 + 2 = 4 – 3 +9
16 = 4 + 2 + 9 = 10
2 = 3 jadi, =
E. Sudut antara Dua vektor
Pada materi sebelumnya sudah dibahas tentang perkalian antara dua vektor
dapat kita tentukan dengan persamaan berikut ini.
Nilai adalah sudut antara vektor . Sebaliknya jika kita ingin menentukan sudut antara vektor ( , maka dapat kita tentukan dengannmenurunkan persamaan diatas sebagai berikut :
24
Contoh :
Jika koordinat titik A (4,1), dan B(3,5), tentukan besar sudut yang dibentuk oleh vektor posisi dari titik posisi A dan vektor dari titik B.
Jawab :
vektor posisi = dan =
= =
=
jadi sudut yang dibentuk oleh adalah
F. Proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain.
1.Proyeksi skalar ortogonal
Proyeksi skalar ortogonal suatu vektor dapat disebut sebagai panjang proyeksi. Untuk memahami proyeksi skalar ortogonal suatu vektor dengan vektor lain,perhatikan gambar :
26
Pada gambar, mewakili , mewakili , mewakili , dan ( = . proyeksi pada adalah . panjang ruas garis AD atau dapat ditentukan sebagai berikut.
=
=
= . =
Karena dapat bernilai negatif, maka panjang proyeksi/ proyeksi skalar ortogonal vektor dapat dirumuskan sebagai berikut.
Contoh :
Diketahui = ¬- + , dan = + 4 . Tentukan proyeksi skalar ortogonal
pada (
Jawab :
= = 6 + 4 = 10 , = = 3 , =
= =
=
=
= = -2 +4 -3 = -1
27
Proyeksi ortogonal pada ( :
=
= =
2. Vektor Proveksi Ortoganal
Untuk memahami vektor proyeksi ortogonal suatu vektor terhadap vektor lain,maka perhatikan pada gambar skalar ortogonal.proyeksi vektor pada adalah . Vektor ini merupakan vektor proyeksi ortogonal pada yang searah dengan vektor dan mempunyai besar sehingga :
adalah vektor satuan dari . Akan tetapi, karena vektor satuan adalah vektor satuan dari juga, maka :
= .
= .
= .
= .
= .
28
Jadi, vektor proyeksi ortogonal vektor dapat dirumuskan dengan persamaan berikut ini.
Contoh :
Jika diketahui = dan = , tentukan vektor proyeksi orthogonal pada .
Jawab :
Vektor proyeksi ortogonal pada adalah :
. .
. = . =
29
PENUTUP
1.Penulisan vektor
Dengan huruf kecil dicetak tebal.
Misalnya : a, b, c,…..
Dengan huruf kecil yang diatas huruf tersebut dibubuhi tanda panah.
Misalnya : , , ,….
2.Panjang vektor u diruskan sebagai berikut :
Jika u R2, u = ( a,b ), maka
Jika u R3 ,u = ( a, b, c ), maka =
3.Setiap vektor yang bukan nol mempunyai vektor satuan. Vektor satuan adalah :
= dan = 1
4. Apabila m dan n suatu skalar, dan vektor-vektor sembarang, maka berlaku :
m ( ) = m + m
(m + n) = m + m
m (n ) = (m n)
5. Sudut antara dua vektor
Sehingga :
. =
6. Pada perkalian skalar dua vektor terdapat sifat-sifat yang berlaku, antara lain :
Komutatif : =
Distributif perkalian terhadap penjumlahan : + ) =
Tidak asosiatif karena tidak terdefinisi
=
30
7. Perbandingan vekor di R3
=
8. Perbandingan vekor di R2
=
9. Proyeksi skalar orthogonal
=
10. Vektor proyeksi ortogonanl
.
31
kok gambarna nggak muncul?
BalasHapus