kelompok 2 / 2010 / C

BAGAN BARISAN DAN DERET

 

Barisan dan Deret Aritmatika

            Barisan dan deret aritmatika disebut juga barisan dan deret hitung, adalah suatu barisan dan deret yang suku pertamanya terdiri dari sembarang bilangan. Sedangkan suku selanjutnya diperoleh dengan cara menambahkan suatu bilangan yang nilainya tetap (konstan) pada suku sebelumnya disebut beda atau selisih.

A.    Barisan Aritmatika

Ø  Definisi

Barisan Aritmatika ialah suatu barisan bilangan-bilangan dimana beda (selisih) diantara dua suku berurutan merupakan bilangan konstan (tetap).

Ø  Bentuk Umum

Ø  Contoh

1.        2, 6, 10, 14, 18, ...                        (Barisan Aritmatika Naik)

2.        1, 4, 7, 10, 13, 16, ...        (Barisan Aritmatika Naik)

3.        20, 15, 10, 5, 0, -5, ...       (Barisan Aritmatika Turun)

Ø  Model Barisan Aritmatika

B.     Deret Aritmatika

Ø Definisi

Deret Aritmatika ialah suku-suku dari barisan aritmatika yang dijumlahkan. Jika diketahui U₁, U₂, U₃, ..., U_n merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmatika kemudian dijumlahkan menjadi U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n.   

Ø Bentuk Umum

Ø Contoh

1.    2 + 6 + 10 + 14 + 18 + ...                 

2.    1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + ...           

3.    20 + 15 + 10 + 5 + 0 + (-5) + ...       

C.  Rumus-Rumus Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

ü  Beda

b = U_n – U_n-1

dimana U_n-1 adalah suku sebelum U_n

 U₁, U₂, U₃, ..., U_n

Dengan suku pertama U₁ = a

Beda: b = U₂ – U₁ = U₃ – U₂ = ...

                         = U_n – U_n-1   

Contoh :

a)      Carilah beda dari berisan aritmatika 3, 5, 7, 9, ... !

Jawab:

U₁ = 3, U₂ = 5

b = U_n – U_n-1

   = U₂ – U_{2 – 1}

   =  U₂ – U₁

   = 5 – 3

   = 2

ü  Suku ke-n

Lambang : U_n

Rumus umum suku ke-n barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b dapat diturunkan sebagai berikut:

U₁ = a

U₂ = a + b

U₃ = a + 2b

U₄ = a + 3b

              

U_n = a + (n – 1)b

Jadi, dapat disimpulkan rumus suku ke-n adalah

U_n = a + (n – 1)b  dimana : a = suku pertama

                                            b = beda / selisih

                                            n = banyaknya suku

contoh:

1)      7, 10, 13, 16, ...

Carilah suku ke-11 !

U₁ = a = 7 , U₂ = 10

b = U₂ – U₁

    = 10 – 7

   = 3

U₁₁ = a + ( n – 1 ) b

       = 7 + ( 11 – 1 ) 3

       = 7 + 10 . 3

       = 7 + 30

       = 37

ü  Suku tengah (U_t)

Jika banyaknya suku dari suatu barisan aritmatika adalah ganjil maka terdapat suku tengah.

a, ..., U_t, ... , U_n          untuk n ganjil

maka : 2 U_t = a + U_n

      . 2 U_t =  (a + U_n )

        U_t =  (a + U_n )        atau     U_t =

Contoh:

Carilah suku tengah dari 8, 1, – 6, – 13, – 20 !

a = 8, n = 5  dan U₅ = – 20

Ut =   (a + U_n )

     =   (8 + (– 20) )

     =   ( – 12 )

     = – 6      

ü  Sisipan

Jika diantara dua suku yang berurutan dalam suatu barisan aritmatika dimasukkan satu atau lebih suku (bilangan) yang lain sehingga menjadi barisan aritmatika yang baru. Misal diantara dua suku (dua bilangan) U₁ dan U₂ ( U₁, ..., U₂ ) disipkan k bilangan sehingga terjadi barisan aritmatika yang baru.  

Barisan pertama: U₁, U₂ dimana beda diperoleh dari b = U₂ – U₁.

Apabila beda barisan aritmatika yang baru dimisalkan b’, maka barisan aritmatika yang baru adalah:

U₁, (U₁+b’),(U₁+2b’), ... , (U₁+kb’), U₂

Di mana (U₁+kb’) + b’ = U₂

     U₁ +(k+1)b’ = U₂

     b’ =    atau     b’ =

contoh:

sisipkan empat bilangan diantara 2 dan 12 !

U₁ = 2, U₂ = 12 dan k = 4

b = U₂ – U₁

   = 12 – 2

   = 10

b’ =

     =

     =  

     = 2

Jadi, barisan aritmatika yang baru adalah: 2, 4, 6, 8, 10, 12

ü  Jumlah n suku yang pertama (S_n)

S_n merupakan jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmatika, maka rumus umum untuk S_n dapat diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut:

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n

Maka

 S_n  = a + (a + b ) + (a + 2b ) + ... + (a+(a – 1 ) b)

 S_n  = U_n + (U_n – b ) + (U_n – 2b ) + ... + a

2S_n = (a + U_n) + (a + U_n) + (a + U_n) + ... + (a + U_n)

     Penjumlahan  sebanyak n suku          

2S_n = n(a + U_n )    S_n =  n (a + Un )

S_n =   n [a + (a + (n – 1 ) b ]

S_n =  n [2n + (n – 1) b]

Jadi, rumus umum jumlah n suku yang pertama deret aritmatika adalah:

S_n =  n ( a + U_n )

S_n =  n [ 2a + (n – 1 ) b ]

Contoh:

Carilah jumlah 100 suku pertama deret  1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... !

a = U₁ = 1 , U₂ = 3 dan n = 100

b = U₂ – U₁

      = 3 – 1

   = 2

  S₁₀₀ =  n [ 2a + (n – 1 ) b ]

         =  . 100 [ 2 .1 + (100 – 1 ) 2 ]

         = 50 [ 2 + 99 . 2]

         = 50 [ 2 + 198 ]

         = 50. 200

         = 10.000

ü  Hubungan antara U_n dan S_n

 

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Barisan dan deret geomeri disebut juga barisan dan deret ukur, adalah suatu barisan dan deret yang suku pertamanya tidak nol dan suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan bilangan tetap yang disebut pembanding atau rasio (r).

A.    Barisan geometri

Ø  Definisi

Barisan geometri adalah suatu barisan dengan pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

Ø  Bentuk umum

U₁, U₂, U₃, …, U_n                atau
a, ar, ar², …, ar^n-1

Ø  Contoh

1.    2, 4, 8, 16, 32, ...

2.    – 10, 20, – 40, 80, ...

3.    64, 16, 4, 1, , ... 

B.     Deret geometri

Ø  Definisi

        Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri.

Ø  Bentuk umum

U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n      atau

a + ar + ar² + … + ar^n-1

Ø  Contoh

1.      2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...

2.      – 10 + 20 + – 40 + 80 + ...

3.      64 + 16 + 4 + 1 +  + ... 

C.    Rumus-rumus barisan geometri dan deret geometri

ü  Rasio (pembanding)

·      lambang: r

     Rumus:

    r =  

Dimana U_n-1 adalah suku sebelum U_n

·      Contoh:

     Carilah rasio dari barisan geometri berikut

     2, 6, 18, 54

     Jawab:

     U₁ = 2 , U₂ = 6 , U₃ = 18 dan U₄ = 54

    r =

     =

      = 3

ü  Suku ke-n

·         Lambang : Un

·         Rumus :

Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r dapat diperoleh sebagai berikut:

U₁ = a

U₂ = ar

U₃ = ar²

        

Un = ar^{n – 1}

Jadi rumus Un = ar^{n – 1}

Contoh:

Tentukan suku yang keenam pada barisan geometri berikut ini:

3, – 6, 12, – 24,  .... !

U₁ = 3 , U₂ = – 6  , U₃ = 12 dan U₄ = – 24

r =

  =

  = – 2

 U_n = ar^{n – 1}

U₆ = 3 . ( – 2) ^{6 – 1}

U₆ = 3 . ( – 2) ⁵

U₆ = 3 . ( – 32)

U₆ =  – 96

ü  Suku tengah

Jika banyaknya suku dari suatu barisan geometri adalah ganjil maka terdapat suku tengah.

a, ..., U_t, ... , U_n             untuk n ganjil

·         Lambang : Ut

·         Rumus :

Keterangan : k : banyak suku diantara dua suku yang berurutan

·         Contoh:

Carilah suku tengah dari barisan geometri ini 2, 6 , 18 !

a =  U₁ = 2 ,  U₂ = 6 , k = 1 dan U_n = 18

r =   

r =  

  = 3

U_n = ar^{n – 1}

U₃ = 2. 3^{3 – 1}

U₃ = 2. 3²

U₃ = 2. 9

U_n = 18

U_t =

U_t =

U_t =

U_t = 6

ü  Sisipan

Jika diantara dua suku yang berurutan dalam suatu barisan geometri dimasukkan satu atau lebih suku (bilangan) yang lain sehingga menjadi barisan geometri yang baru. Misal diantara dua suku (dua bilangan) U₁ dan U₂ ( U₁, ..., U₂ ) disipkan k bilangan sehingga terjadi barisan geometri yang baru.  

·         Lambang: r’

·         Rumus:

r’ =

·         Contoh:

Sisipkan dua bilangan antara 6 dan 48 !

U₁ = 6, U₂ = 48 dan k = 2

r’ =

r’ =

r’ =

 r’ = 2

Jadi, barisan geometri yang baru adalah 6, 12 , 24, 48

ü  Jumlah n suku pertama dari Deret Geometri

·         Lambang: S_n

·         Rumus:

Rumus S_n dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut;

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + ... + U_n, maka

S_n = a +ar + ar² + ... + ar^{n – 2} + ar^{n – 1}

Kalikan S_n dengan r

rS_n = ar + ar² + ar³ + ... + ar^{n – 1} + arⁿ

kurangkan rS_n terhadap S_n

S_n = a + ar + ar² + ... + ar^{n – 2} + ar^{n – 1}

rS_n = ar + ar² + ... + ar^{n – 2} + ar^{n – 1} + arⁿ                _      

S_n – rS_n = a – arⁿ

S_n (1 – r) = a (1 – rⁿ)

S_n =  

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret geometri adalah:

S_n =   : untuk r < 1

S_n =  : untuk r > 1

Keterangan:    a : suku pertama

                                    r : rasio

·         Contoh:

Hitunglah jumlah 7 suku pertama deret geometri

 – 2 + 1 –  +   – ... !

Jawab:

a = – 2 , r =  -   dan n = 7

oleh karena r = –    < 1 , maka gunakan rumus S_n =

S_n =

S₇ =

S₇ =

S₇ =

S₇ = – 4 . .

S₇ = –  

ü  Hubungan antara Un dan Sn

U_n = S_n – S_{(n – 1)}

DERET GEOMETRI TAK HINGGA

v  Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yang banyak sukunya tak hingga. Maksudnya jika deret tersebut diteruskan , maka tidak terhitung banyak seluruh deret geometri tersebut.

Suatu deret geometi tak hingga mempunyai jumlah tertentu (konvergen) jika rasio deret tersebut pada interval -1 < r < 1 atau | r | < 1.

v  Rumus jumlah deret geometri tak hingga

Jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah:

Sn =

S_∞ =  =  -

Untuk n → ∞ dan |r| < 1, maka rⁿ → 0

S_∞ =   – 0 =    

Jadi, rumus jumlah deret geometri tak hingga yaitu :

S_∞ =   di mana |r| < 1 atau – 1 < r < 1

 S_∞ = a + ar + ar² + ar³ + ... = 

v  Contoh soal

1.      Carilah jumlah deret geometri tak hingga berikut:

a)      36 – 12 + 4 –    + ...

b)     +

Jawab :

a)      S_∞ =  di mana a = 36 dan r =  – , maka

S_∞ =  =    = 27

b)      S_∞ =  di mana a =  dan r = , maka

S_∞ =  =  =

SUKU BANYAK

       I.            ASPEK – ASPEK UMUM MENGENAI SUKU BANYAK

A.    Pengertian dan Komponen Suku Banyak

Bentuk Umum :

 

Keterangan :

a_n , a_{n – 1} , . . . , a₁         = koefisien – koefisien sukubanyak yang merupakan konstanta real dan a_n ≠ 0,

a₀            = suku tetap yang merupakan konstanta real,

n          = derajat suku banyak, merupakan bilangan cacah.

Bentuk di atas dinamakan Suku Banyak atau Polinom dalam x yang berderajat n dimana n adalah bilangan cacah dan a_n ≠ 0.

Derajat suatu suku banyak dalam x adalah pangkat tertinggi dari x dalam suatu suku banyak.

Contoh :

      X² + 4x + 4 dinamakan suku banyak dalam x yang berderajat dua.

      X³ – 5x² + 7x + 3 adalah suku banyak dalam x yang berderajat 3.

B.     Operasi Aljabar Suku Banyak

Operasi aljabar pada suku banyak berupa penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, memiliki sifat dan aturan yang sama seperti operasi aljabar pada bilangan real.

Contoh :

      Diketahui : f(x) = x³ + 2x + 3 dan g(x) = x⁵ + 3x⁴ – 7x² – 3x + 1

      Tentukan : a. F(x) + g(x)

                        b. f(x) – g(x)

                        c. f(x) x g(x)

      Jawab :

a.       F(x) + g(x)             = ( x³ + 2x + 3 ) + ( x⁵ + 3x⁴- 7x² – 3x + 1 )

= x⁵ + 3x⁴ + x³ – 7x² – x + 4

b.      F(x) – g(x)             = ( x³ + 2x + 3 ) - ( x⁵ + 3x⁴- 7x² – 3x + 1 )

= - x⁵ – 3x⁴ + x³ + 7x² + 5x + 2

c.       F(x) x g(x)             = ( x³ + 2x + 3 ) x ( x⁵ + 3x⁴- 7x² – 3x + 1 )

= x⁸ + 2x⁶ + 3x⁵ + 3x⁷ + 6x⁵ + 9x⁴ – 7x⁵ – 14x³ – 21x² –      3x⁴ – 6x² – 9x + x³ + 2x + 3

= x⁸ + 3x⁷ + 2x⁶ +2x⁵ +6x⁴ – 13x³ – 27x² – 7x + 3

C.    Kesamaan Suku Banyak

Suku banyak f(x) dikatakan sama dengan g(x) jika memiliki nilai sama untuk peubah x. Notasi dari kesamaan suku banyak f(x) dan g(x) dituliskan dengan:

Berikut ini adalah definisi kesamaan suku banyak

 

Contoh :

Carilah nilai a dan b dari kesamaan berikut ini :

a.       x³ + 4x² – 7x + a   = (x-2) (x+1) (x+b)

= ( x² – x – 2 ) ( x + b )

= x³ + (b – 1 )x² – b(b + 2)x – 2b

                                    b – 1 = 4        koefisien x³

                                    b + 2 = 7        koefisien x

                                    dari kedua persamaan di atas di dapat b = 5

                                    a          = -2b

                                                = -2(5) = 10

b.   

 

(a+b)x + 3(a – b) = 6x

a + b          = 6

a – b          = 0

      2a        = 6

      a          = 3

      b          = 3

    II.            NILAI SUKU BANYAK

A.    Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Substitusi

Nilai suku banyak P(x) untuk x = k , ditentukan dengan melakukan subtitusi nilai k ke dalam variabel – variabel x pada suku banyak tersebut.

Contoh :

Tentukan nilai suku banyak P(x) = x⁵ – 2x⁴ + 3x³ + 4x² – 10x + 3 untuk x = 1 dan x = -2

Jawab :

P(x) = x⁵ – 2x⁴ + 3x³ + 4x² – 10x + 3

Untuk x = 1        P(1)        = (1)⁵ – 2(1)⁴ + 3(1)³ + 4(1)² – 10(1) + 3

                                          = 1 – 2 + 3 + 4 – 10 + 3

                                          = – 1

Untuk x = - 2         P(-2)   = (-2)⁵ – 2(-2)⁴ + 3(-2)³ + 4(-2)² – 10(-2) + 3

                                          = - 32 – 32 – 24 + 16 + 20 + 3

                                          = - 49

B.     Menentukan Nilai Suku Banyak Menggunakan Skema (Bagan)

Langkah pertama yang perlu dilakukan adalah mengurutkan penulisan suku banyak dari kiri ke kanan mulai pangkat tertinggi. Jika f(x) = ax³ + bx² + cx + d dan h merupakan bilangan nyata, maka untuk menghitung f(h) =ah³ + bh² + ch+d dapat digunakan cara sebagai berikut :

Ø  Kalikan a dengan h kemudian ditambah b

Ø  Kalikan ( ah + b ) dengan h, kemudian ditambah c

Ø  Kalikan ( ah² + bh + c ) dengan h, kemudian ditambah d

Cara di atas dapat disusun di dalam bentuk skema sebagai berikut :

h          a          b          c                      d

                        ah        ah² + bh           ah³ + bh² + ch

            a          ah + h ah² + bh + c     ah³ + bh² + ch + d      

contoh soal :

P(x) = x⁵ – 2x⁴ + 3x³ + 4x² – 10x + 3 untuk x = 1

X = 1   1          -2         3          4          -10       3

                        1          -1         2          6          - 4        ₊

            1          -1         2          6          - 4        - 1        Hasil P(1) adalah - 1  

Keterangan :

Simbol         bearti kalikan dengan cara input ( dalam hal ini angka input = 1 karena yang akan dicari nilai suku banyak, P(x) dengan x = 1).

 III.            PEMBAGIAN SUKU BANYAK

Jika f(x) suatu suku banyak dibagi dengan g(x) sehingga menghasilkan h(x) sebagai hasil bagi ditambah sisa s(x), maka pembagian tersebut dapat disusun dengan sebagai berikut :

           

Keterangan :

            F(x)     = suku banyak yang dibagi

            G(x)     = Pembagi

            H(x)     = hasil bagi

            S(x)     = sisa pembagian

Perhatikan, jika f(x) berderajat n, g(x) berderajat m dan m ≤ n maka h(x) berderajat ( n – m ), sedangkan s(x) berderajat maksimum m – 1.

Penentuan pembagian suku banyak dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :

A.    Pembagian Bersusun

Pembagian suku banyak dengan menggunakan cara bersusun ini mirip dengan prosedur pembagian pada bilangan bulat. Untuk lebih jelasnya, amati penyelesaian contoh soal sebagai berikut ini.

Contoh soal:

Tentukan hasil dan sisa pembagian f(x) = x³ + 5x² – 4x – 20 oleh x + 3 !

Jawab :

f(x) berderajat 3, g(x) berderajat 1, hasil bagi h(x) berderajat 3 – 1 = 2, sisa pembagian s(x) berderajat 1 – 1 = 0.

                                          x² + 2x – 10          hasil bagi

Pembagi         x + 3                     yang dibagi

   x³ + 3x²                                _

            2x² – 4x

            2x² + 6x                       _

-10x – 20

-10x – 30      _

           10         sisa

Dengan cara ini didapatkan hasil bagi h(x) x² + 2x – 10, sedangkan sisanya s(x) = 10.

     Adapun langkah – langkah pembagian suku banyak dengan pembagian bersusun adalah sebagai berikut :

a.       Membagi suku pertama suku banyak yang akan dibagi ( x³ ) dengan suku pertama pembagi ( x ) yang menghasilkan x² ( suku pertama hasil bagi ).

hasil         x²

x + 3         

      Dibagi

b.      Kalikan suku pertama hasil bagi tersebut dengan pembagi, x²(x+3)=x³+3x² hasil bagi ini digunakan untuk mengurangi suku banyak yang dibagi.

Dikalikan       x²

x + 3         

                     x³ + 3x²                                _

Hasil                      2x² – 4x          

c.       Ulangi prinsip langkah a dan b hingga semua suku yang dibagi telah digunakan.

                x² + 2x

x + 3         

                     x³ + 3x²                                _

                        2x² – 4x

                        2x² + 6x                       _

. . . . . . . . . . dan seterusnya

B.     Pembagian Menggunakan Koefisien tak tentu

Pembagian dengan cara ini menggunakan istilah koefisien tak tentu karena kita harus memisalkan dulu hasil bagi dan sisa pembagian dalam bentuk aljabar yang koefisien – koefisiennya masih harus ditentukan kemudian. Untuk lebih jelasnya perhatikan penyeleaian soal pada berikut ini.

Suku banyak yang dibagi f(x) = x³ + 5x² – 4x – 20 (berderajat 3), sedangkan pembagi g(x) = (x+3) berderajat 1. Bentuk umum :

Dalam hal ini, h(x) berderajat 3 – 1 = 2, dimisalkan berbentuk ax² + bx + c. Derajat sisa pembagian adalah derajat pembagi dikurangi satu, 1 – 1 = 0, dimisalkan s(x) = d.

Kita tulis kembali bentuk umum persamaan tadi:

x³ + 5x² – 4x – 20 = ( x + 3 ) (ax² + bx + c ) + d

                              = ax³ + 3ax² + bx² + 3bx + cx + 3c + d

                              = ax³ + (3a + b )x² + ( 3b + c )x + (3c + d )

Selanjutnya, kita sesuaikan koefisien ruas kiri dan ruas kanan.

a = 1

( 3a + b )    = 5        3(1) + b          = 5        b = 2

( 3b + c )    = -4       3(2) + c          = -4       c = -10

( 3c + d )   = -20        3(-10) + d   = -20       d = 10

Jadi, h(x) = x² + 2x – 10 dan s(x) = 10.

C.     Pembagian Sintetik ( Cara Horner / Skematik )

Misalkan f(x) = ax³ + bx² + cx + d dibagi dengan x – h, diperoleh hasil bagi ax²+(ah+b)x+(ah²+bx+c) dengan sisa pembagiannya adalah f(h)=ah³+bh²+ch+d.

Ada beberapa bentuk pembagian suku banyak yang dapat diselesaikan dengan cara horner.

a.       Pembagian Suku Banyak oleh ( x – k )

Sisa pembagian suku banyak tersebut pada x = k. Kondisi x = k tersebut merupakan nilai dimana pembagi (x – k ) bernilai nol. Selanjutnya kita amati penentuan nilai suku banyak f(x) = ax² + bx + c untuk x = k menggunakan skema yang telah kita pelajari.

                  ax² + bx + c

x = k          a          b          c

                              ak        bk + ak²           +

                  a          (b+ak)  ak² + bk + c

contoh :

Suku banyak 3x³ + 7x² + ax – 5 dibagi ( x + 2 ) sisanya 17. Tentukan nilai a dan hasil baginya !

Jawab :

f(x) = 3x³ + 7x² + ax – 5, pembagi bernilai noljika x + 2 = 0 maka x = -2. Substitusikan x = -2 pada f(x) menghasilkan sisa pembagian.

f(-2) = s(-2)           = 3(-2)³ + 7(-2)² + a(-2) – 5     = 17

                              = - 24 + 28 – 2a – 5                 = 17

    – 2a = 18

a    = - 9

Jadi, f(x) = 3x³ + 7x² - 9x – 5. Hasil pembagian akan ditentukan dengan pembagian sintetik cara horner.

X = - 2      3          7          - 9        - 5

                                                            -6         -2         22        +

                                                3          1          -11       17

Diperoleh hasil pembagian, h(x) = 3x² + x – 11

b.      Pembagian Suku Banyak oleh ( ax – b )

Pembagian suku banyak oleh ( ax – b ) merupakan perluasan dari pembagian suku banyak oleh ( x – k ). Bentuk umum pembagian suku banyak oleh ( ax – b ) dengan hasil h(x) dan sisanya s(x) adalah :

 

Bentuk umum pembagian suku banyak oleh ( x – k ) dengan hasil h(x) dan sisanya s(x) adalah :

 

Dimisalkan k =  maka diperoleh :

 

Berdasarkan uraian tersebut dapat diperoleh hal – hal berikut :

v  Suku banyak f(x) dibagi ( ax – b ) menghasilkan  , dengan h(x) adalah hasil bagi f(x) oleh .

v  Siisa pembagian f(x) oleh ( ax – b ) sama dengan sisa pembagian oleh .

Contoh :

Tentukan hasil dan sisa pembagian dari f(x) = 4x³ + 4x² – x + 15 oleh (2x+3) !

Jawab :

Kita akan menggunakan cara horner. Pembagi bernilai nol jika x=.

x=        4          4          -1         15

                             -6         3          -3         +

                 4          -2         2          12

Hasil bagi =  sisanya s(x)=12.

c.       Pembagian Suku Banyak oleh ( ax² + bx + c ) dengan a ≠ 0

Pembagian suku banyak f(x) oleh ax² + bx + c dengan cara horner dapat dilakukan jika bentuk pembagi (ax² + bx + c ) dapat difaktorkan. Bentuk umum pembagian ini adalah :

 

Dengan h(x) dan s(x) berturut – turut adalah hasil dan sisa pembagian. Misalnya (ax² + bx + c ) dapat difaktorkan menjadi f₁ . f₂        ax² + bx + c maka :

 

Urutan langkah – langkah penentuan hasil dan sisa pembagian sku banyak tersebut adalah :

1)      Melakukan pembagian suku banyak f(x) oleh f₁ dengan hasil h₀(x) dan sisanya s₁.

2)      Melakukan pebagian h₀(x) oleh f₂ dengan hasil h(x) dan sisanya s₂

3)      Hasil bagi f(x) oleh (g(x) = f₁ . f₂ ) adalah h(x), sedangkan sisanya adalah s(x) = f₁ . s₂ + s₁­.

Contoh :

Tentukan hasil dan sisa pembagian x⁴ – 3x² + x – 2 oleh x² – x – 2 !

Jawab :

f(x) = x⁴ – 3x² + x – 2

g(x) = x² – x – 2 difaktorkan menjadi (x – 2) (x + 1) = f₁ . f₂

f₁ = (x – 2) bernilai nol pada x = 2

f₂ = (x + 1) bernilai nol pada x = - 1

Selanjutnya kita gunakan cara horner sbagai berikut :

                 f(x) = x⁴ + 0x³ – 3x² + x – 2

x = 2         1          0          - 3        1          - 2

                             2          4          2          6   +

                 1          2          1          3          4

x = - 1

                             -1         -1         0     +

                 1          1          0          3

Jadi, hasil pembagian x⁴ – 3x² + x – 2 oleh x² – x – 2 adalah h(x) = x²+ x sedangkan sisanya dapat dihitung dengan rumus s(x) = f₁ . s₂ + s₁.

S(x)           = (x – 2 ) (3) + 4

                 = 3x – 6 + 4

                 = 3x – 2

NB: Bagaimana jika pembagi yang berbentuk ax² + bx + c tidak dapat difaktorkan ? untuk kasus seperti ini anda dapat melakukan pembagian bersusun atau menggunakan koefisien tak tentu dalam penentuan hasil dan sisa pembagian suku banyak tersebut.

D.    Identitas

Identitas digunakan untuk mencari hasil bagi dan sisanya jika pembagiannya bukan linier serta tidak dapat diuraikan menjadi faktor linier yaitu dengan cara :

 

Dengan ketentuan sebagai berikut :

v  Derajat suku banyak dibagi dikurangi derajat pembagi = drajat hasil bagi

v  Derajat sisa setinggi – tingginya sama dengan derajat pembagi dikurangi satu.

Contoh :

Tentukan sisa pembagian x³ – 3x² + 4x + 2 dengan pembagi x² – x – 2

Jawab :

Pembagi berderajat dua, maka sisanya berderajat satu.

Sisa = ax + b

Pembagi   = x² – x – 2

                 = ( x – 2 ) ( x + 1 )

Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

x³ – 3x² + 4x + 2 = ( x – 2 ) ( x + 1 ) h(x) + ax + b

jika x = 2 maka:

(2)³ – 3(2)² + 4(2) + 2  = 0 + 2a + b

8 – 12 + 8 + 2              = 2a + b

2a + b = 6

Jika x = -1 maka :

(-1)³ – 3(-1)² + 4(-1) + 2          = 0 – 1 + b

- 1 – 3 – 4 + 2                          = - a + b

- a + b = - 6

Dari kedua persamaan yang terdapat di atas sehingga dapat diperoleh :

2a + b       = 6

-a + b        = - 6     _

     3a        = 12

     a          =  = 4

jika a = 4 maka,

2(4) + b = 6

b = 6 – 8

b = - 2

Jadi, sisa pembagiannya adalah 4x - 2

             IV.            Teorema Sisa

1.      Pembagian oleh ( x – k )

Jika sukubanyak f(x) berderajat n dibagi dengan ( x – k ), maka sisanya S=f(k)

Pada pembahasan Cara Horner untuk menentukan hasil pembagian suku banyak telah diulas bahwa sisa pebagian suku banyak oleh ( x – k ) merupakan nilai suku banyak tersebut pada x = k. Perhatikan teorema berikut ini.

                        Bukti :

                        f(x) = ( x – k ) h(x) + s

                        untuk  x – k = 0

                        x = k                f(k) = ( k – k ) h(k) + s

                                                f(k) = 0 + s

                                                f(k) = s

                        Jadi, sisa S = f(k) terbukti.

2.      Pembagian oleh ( ax – b )

Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (ax-b), maka sisanya S=f

Analogi dengan pembagian sukubanyak oleh ( x – k ), sisa pembagian suku banyak f(x) oleh ( ax – b ) dapat pula ditentukan dengan nilai suku banyak f(x) tersebut pada x =  . Nilai x =  ini merupakan syarat agar pembagi, yaitu (ax-b) bernilai nol. Simaklah Teorma berikut ini.

Bukti :

ax – b = 0

x          =

f(x)      = (ax – b )  + S(x)

f   =  + S(x)

f  = 0  + S(x)

f  = S(x)

jadi, sisanya S(x) = f  

3.      Pembagian oleh ( x – a ) ( x – b )

Pembagian suku banyak f(x) oleh (x-a) (x-b) dengan hasil baginya h(x) dan sisanya s(x) dapat ditulis :

Karena pembagi berderajat dua maka S setinggi – tingginya berderajat satu misalnya S = ( px + q )

Untuk x = a                 f(a) = 0 + pa + q

                                    f(a) = pa + q ….. (1)

untuk x = b                  f(b) = 0 + pb + q

                                    f(b) = pb + q ….. (2)

Dengan eliminasi (1) dan (2) diperoleh :

P =  dan q =  

S(x) = px + q

S(x) =  +

                V.            Teorema Faktor

Jika f(x) merupakan suku banyak, maka f(a) = 0 jika dan hanya jika (x-a) merupakan faktor dari f(x).

Dan jika suku banyak f(x) dibagi oleh ( x – a ) ( x – b ) maka sisanya adalah :

 

PENUTUP

v  Barisan Aritmatika

Ialah suatu barisan bilangan-bilangan dimana beda (selisih) diantara dua suku berurutan merupakan bilangan konstan (tetap).

Bentuk Umum

            U₁, U₂, U₃, ..., U_n

Contoh

            2, 6, 10, 14, 18, ...                   (Barisan Aritmatika Naik)

            20, 15, 10, 5, 0, -5, ...              (Barisan Aritmatika Turun)

Model Barisan Aritmetika

            a, a+b, a+b+b, a+b+b+b, ..., a+b+b+...+b

v  Deret Aritmatika

Deret Aritmatika ialah suku-suku dari barisan aritmatika yang dijumlahkan. Jika diketahui U₁, U₂, U₃, ..., U_n merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmatika kemudian dijumlahkan menjadi U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n   

Bentuk Umum

            U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n   

Contoh

            2 + 6 + 10 + 14 + 18 + ...                   

            1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + ... 

v  Rumus – Rumus

Beda b = U_n – U_n-1

            Dimana U_n-1 adalah suku sebelum U_n dan U₁ = a

Suku ke-n  (U_n )

            U_n = a + (n – 1)b  dimana : a = suku pertama

                                                        b = beda / selisih

                                                        n = banyaknya suku

Suku tengah (U_t)

            Jika banyaknya suku dari suatu barisan aritmatika adalah ganjil maka terdapat suku tengah.

            a, ..., U_t, ... , U_n                   untuk n ganjil

              U_t = 1 / 2  (a + U_n )

v  Deret Aritmatika Tak Hingga

Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yang banyak sukunya tak hingga. Maksudnya jika deret tersebut diteruskan , maka tidak terhitung banyak seluruh deret geometri tersebut.

RUMUS:

S_∞ =  a / 1 – r    di mana |r| < 1 atau – 1 < r < 1

 S_∞ = a + ar + ar² + ar³ + ... = a / 1 – r

v  Suku Banyak

Bentuk Umum :

            P(x) = a_nxⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + a_{n – 2}x^{n – 2} + . . . + a₁x + a₀
Keterangan :

            a_n , a_{n – 1} , . . . , a₁         = koefisien – koefisien sukubanyak yang merupakan konstanta real dan a_n ≠ 0,

            a₀            = suku tetap yang merupakan konstanta real,

            n          = derajat suku banyak, merupakan bilangan cacah.

Bentuk di atas dinamakan Suku Banyak atau Polinom dalam x yang berderajat n dimana n adalah bilangan cacah dan a_n ≠ 0.

Derajat suatu suku banyak dalam x adalah pangkat tertinggi dari x dalam suatu suku banyak.

v  Nilai Suku Banyak

Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Substitusi

Nilai suku banyak P(x) untuk x = k , ditentukan dengan melakukan subtitusi nilai k ke dalam variabel – variabel x pada suku banyak tersebut.

Menentukan Nilai Suku Banyak Menggunakan Skema (Bagan)

v  Pembagian Suku Banyak

Jika f(x) suatu suku banyak dibagi dengan g(x) sehingga menghasilkan h(x) sebagi hasil bagi ditambah sisa s(x), maka pembagian tersebut dapat disusun dengan sebagai berikut :

f(x) : g(x) = h(x) + s(x) Atau f(x) = h(x) . g(x) + s(x)

Keterangan :

F(x)     = suku banyak yang dibagi

G(x)     = Pembagi

H(x)     = hasil bagi

S(x)     = sisa pembagian