Kamis, 03 November 2011

kelompok 2 / 2010 / C


Rounded Rectangle: Jumlah sampai tak terhingga sukuRounded Rectangle: Jumlah n suku pertamaRounded Rectangle: Notasi SigmaRounded Rectangle: DeretRounded Rectangle: Suku ke-n “Un”Rounded Rectangle: Suku ke-n “Un”Rounded Rectangle: GeometriRounded Rectangle: AritmetikaRounded Rectangle: BarisanRounded Rectangle: Masalah barisan dan deret dalam kehidupan sehari-hariBAGAN BARISAN DAN DERET










Rounded Rectangle: Jumlah suku n pertama 











Barisan dan Deret Aritmatika
            Barisan dan deret aritmatika disebut juga barisan dan deret hitung, adalah suatu barisan dan deret yang suku pertamanya terdiri dari sembarang bilangan. Sedangkan suku selanjutnya diperoleh dengan cara menambahkan suatu bilangan yang nilainya tetap (konstan) pada suku sebelumnya disebut beda atau selisih.
A.    Barisan Aritmatika
Ø  Definisi
Barisan Aritmatika ialah suatu barisan bilangan-bilangan dimana beda (selisih) diantara dua suku berurutan merupakan bilangan konstan (tetap).
Ø  Rounded Rectangular Callout: U1, U2, U3, ..., Un Bentuk Umum


Ø  Contoh
1.        2, 6, 10, 14, 18, ...                        (Barisan Aritmatika Naik)
2.        1, 4, 7, 10, 13, 16, ...        (Barisan Aritmatika Naik)
3.        20, 15, 10, 5, 0, -5, ...       (Barisan Aritmatika Turun)
Ø  Rectangular Callout: a, a+b, a+b+b, a+b+b+b, ..., a+b+b+...+b Model Barisan Aritmatika



B.     Deret Aritmatika
Ø Definisi
Deret Aritmatika ialah suku-suku dari barisan aritmatika yang dijumlahkan. Jika diketahui U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmatika kemudian dijumlahkan menjadi U1 + U2 + U3 + ... + Un.   
Ø Rounded Rectangular Callout: U1 + U2 + U3 + ... + Un   Bentuk Umum

Ø Contoh
1.    2 + 6 + 10 + 14 + 18 + ...                 
2.    1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + ...           
3.    20 + 15 + 10 + 5 + 0 + (-5) + ...       
C.  Rumus-Rumus Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
ü  Beda
b = Un – Un-1
dimana Un-1 adalah suku sebelum Un
 U1, U2, U3, ..., Un
Dengan suku pertama U1 = a
Beda: b = U2 – U1 = U3 – U2 = ...
                         = Un – Un-1   
Contoh :
a)      Carilah beda dari berisan aritmatika 3, 5, 7, 9, ... !
Jawab:
U1 = 3, U2 = 5
b = Un – Un-1
   = U2 – U2 – 1
   =  U2 – U1
   = 5 – 3
   = 2
ü  Suku ke-n
Lambang : Un
Rumus umum suku ke-n barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b dapat diturunkan sebagai berikut:
U1 = a
U2 = a + b
U3 = a + 2b
U4 = a + 3b
              
Un = a + (n – 1)b
Jadi, dapat disimpulkan rumus suku ke-n adalah
Un = a + (n – 1)b  dimana : a = suku pertama
                                            b = beda / selisih
                                            n = banyaknya suku



contoh:
1)      7, 10, 13, 16, ...

Carilah suku ke-11 !
U1 = a = 7 , U2 = 10
b = U2 – U1
    = 10 – 7
   = 3
U11 = a + ( n – 1 ) b
       = 7 + ( 11 – 1 ) 3
       = 7 + 10 . 3
       = 7 + 30
       = 37

ü  Suku tengah (Ut)
Jika banyaknya suku dari suatu barisan aritmatika adalah ganjil maka terdapat suku tengah.
a, ..., Ut, ... , Un          untuk n ganjil
maka : 2 Ut = a + Un
      . 2 Ut =  (a + Un )
        Ut =  (a + Un )        atau     Ut =
Contoh:
Carilah suku tengah dari 8, 1, – 6, – 13, – 20 !
a = 8, n = 5  dan U5 = – 20
Ut =   (a + Un )
     =   (8 + (– 20) )
     =   ( – 12 )
     = – 6      
ü  Sisipan
Jika diantara dua suku yang berurutan dalam suatu barisan aritmatika dimasukkan satu atau lebih suku (bilangan) yang lain sehingga menjadi barisan aritmatika yang baru. Misal diantara dua suku (dua bilangan) U1 dan U2 ( U1, ..., U2 ) disipkan k bilangan sehingga terjadi barisan aritmatika yang baru.  
Barisan pertama: U1, U2 dimana beda diperoleh dari b = U2 – U1.
Apabila beda barisan aritmatika yang baru dimisalkan b’, maka barisan aritmatika yang baru adalah:
U1, (U1+b’),(U1+2b’), ... , (U1+kb’), U2
Di mana (U1+kb’) + b’ = U2
     U1 +(k+1)b’ = U2
     b’ =    atau     b’ =
contoh:
sisipkan empat bilangan diantara 2 dan 12 !
U1 = 2, U2 = 12 dan k = 4

b = U2 – U1
   = 12 – 2
   = 10


b’ =
     =
     =  
     = 2

Jadi, barisan aritmatika yang baru adalah: 2, 4, 6, 8, 10, 12
ü  Jumlah n suku yang pertama (Sn)
Sn merupakan jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmatika, maka rumus umum untuk Sn dapat diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un
Maka
 Sn  = a + (a + b ) + (a + 2b ) + ... + (a+(a – 1 ) b)
 Sn  = Un + (Un – b ) + (Un – 2b ) + ... + a
2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) + ... + (a + Un)
     Penjumlahan  sebanyak n suku          
2Sn = n(a + Un )    Sn =  n (a + Un )
Sn =   n [a + (a + (n – 1 ) b ]
Sn =  n [2n + (n – 1) b]
Jadi, rumus umum jumlah n suku yang pertama deret aritmatika adalah:
Sn =  n ( a + Un )
Sn =  n [ 2a + (n – 1 ) b ]
Contoh:
Carilah jumlah 100 suku pertama deret  1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... !
a = U1 = 1 , U2 = 3 dan n = 100
b = U2 – U1
      = 3 – 1
   = 2
  S100 =  n [ 2a + (n – 1 ) b ]
         =  . 100 [ 2 .1 + (100 – 1 ) 2 ]
         = 50 [ 2 + 99 . 2]
         = 50 [ 2 + 198 ]
         = 50. 200
         = 10.000
ü  Hubungan antara Un dan Sn


Rounded Rectangular Callout: Un = Sn – S(n – 1 )
 












BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Barisan dan deret geomeri disebut juga barisan dan deret ukur, adalah suatu barisan dan deret yang suku pertamanya tidak nol dan suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan bilangan tetap yang disebut pembanding atau rasio (r).
A.    Barisan geometri
Ø  Definisi
Barisan geometri adalah suatu barisan dengan pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
Ø  Bentuk umum
U1, U2, U3, …, Un                atau
a, ar, ar2, …, arn-1
Ø  Contoh
1.    2, 4, 8, 16, 32, ...
2.    – 10, 20, – 40, 80, ...
3.    64, 16, 4, 1, , ... 
B.     Deret geometri
Ø  Definisi
        Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri.
Ø  Bentuk umum
U1 + U2 + U3 + … + Un      atau
a + ar + ar2 + … + arn-1
Ø  Contoh
1.      2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...
2.      – 10 + 20 + – 40 + 80 + ...
3.      64 + 16 + 4 + 1 +  + ... 
C.    Rumus-rumus barisan geometri dan deret geometri
ü  Rasio (pembanding)
·      lambang: r
     Rumus:
    r =  
Dimana Un-1 adalah suku sebelum Un
·      Contoh:
     Carilah rasio dari barisan geometri berikut
     2, 6, 18, 54
     Jawab:
     U1 = 2 , U2 = 6 , U3 = 18 dan U4 = 54
    r =
     =
      = 3
ü  Suku ke-n
·         Lambang : Un
·         Rumus :
Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r dapat diperoleh sebagai berikut:
U1 = a
U2 = ar
U3 = ar2
        
Un = arn – 1
Jadi rumus Un = arn – 1
Contoh:
Tentukan suku yang keenam pada barisan geometri berikut ini:
3, – 6, 12, – 24,  .... !
U1 = 3 , U2 = – 6  , U3 = 12 dan U4 = – 24

r =
  =
  = – 2
 Un = arn – 1
U6 = 3 . ( – 2) 6 – 1
U6 = 3 . ( – 2) 5
U6 = 3 . ( – 32)
U6 =  – 96




ü  Suku tengah
Jika banyaknya suku dari suatu barisan geometri adalah ganjil maka terdapat suku tengah.
a, ..., Ut, ... , Un             untuk n ganjil
·         Lambang : Ut
·         Cloud Callout: Ut = √(k+1&a .U_n  )Rumus :



Keterangan : k : banyak suku diantara dua suku yang berurutan
·         Contoh:
Carilah suku tengah dari barisan geometri ini 2, 6 , 18 !
a =  U1 = 2 ,  U2 = 6 , k = 1 dan Un = 18

r =   
r =  
  = 3
Un = arn – 1
U3 = 2. 33 – 1
U3 = 2. 32
U3 = 2. 9
Un = 18
Ut =
Ut =
Ut =
Ut = 6





ü  Sisipan
Jika diantara dua suku yang berurutan dalam suatu barisan geometri dimasukkan satu atau lebih suku (bilangan) yang lain sehingga menjadi barisan geometri yang baru. Misal diantara dua suku (dua bilangan) U1 dan U2 ( U1, ..., U2 ) disipkan k bilangan sehingga terjadi barisan geometri yang baru.  
·         Lambang: r’
·         Rumus:
r’ =

·         Contoh:
Sisipkan dua bilangan antara 6 dan 48 !
U1 = 6, U2 = 48 dan k = 2
r’ =
r’ =
r’ =
 r’ = 2
Jadi, barisan geometri yang baru adalah 6, 12 , 24, 48
ü  Jumlah n suku pertama dari Deret Geometri
·         Lambang: Sn
·         Rumus:
Rumus Sn dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut;
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un, maka
Sn = a +ar + ar2 + ... + arn – 2 + arn – 1
Kalikan Sn dengan r
rSn = ar + ar2 + ar3 + ... + arn – 1 + arn
kurangkan rSn terhadap Sn
Sn = a + ar + ar2 + ... + arn – 2 + arn – 1
rSn = ar + ar2 + ... + arn – 2 + arn – 1 + arn                _      
Sn – rSn = a – arn
Sn (1 – r) = a (1 – rn)
Sn =  
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret geometri adalah:
Sn =   : untuk r < 1
Sn =  : untuk r > 1
Keterangan:    a : suku pertama
                                    r : rasio

·         Contoh:
Hitunglah jumlah 7 suku pertama deret geometri
 – 2 + 1 –  +   – ... !
Jawab:
a = – 2 , r =  -   dan n = 7
oleh karena r = –    < 1 , maka gunakan rumus Sn =
Sn =
S7 =
S7 =
S7 =
S7 = – 4 . .
S7 = –  

ü  Hubungan antara Un dan Sn
Un = Sn – S(n – 1)








DERET GEOMETRI TAK HINGGA
v  Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yang banyak sukunya tak hingga. Maksudnya jika deret tersebut diteruskan , maka tidak terhitung banyak seluruh deret geometri tersebut.
Suatu deret geometi tak hingga mempunyai jumlah tertentu (konvergen) jika rasio deret tersebut pada interval -1 < r < 1 atau | r | < 1.
v  Rumus jumlah deret geometri tak hingga
Jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah:
Sn =
S =  =  -
Untuk n → ∞ dan |r| < 1, maka rn → 0
S=   – 0 =    
Jadi, rumus jumlah deret geometri tak hingga yaitu :
S=   di mana |r| < 1 atau – 1 < r < 1
 S= a + ar + ar2 + ar3 + ... = 
v  Contoh soal
1.      Carilah jumlah deret geometri tak hingga berikut:
a)      36 – 12 + 4 –    + ...
b)     +
Jawab :
a)      S=  di mana a = 36 dan r =  , maka
S=  =    = 27
b)      S=  di mana a =  dan r = , maka
S=  =  =
SUKU BANYAK

       I.            ASPEK – ASPEK UMUM MENGENAI SUKU BANYAK
A.    Pengertian dan Komponen Suku Banyak
Bentuk Umum :


Rounded Rectangular Callout: P(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + an – 2xn – 2 + . . . + a1x + a0
 



Keterangan :
an , an – 1 , . . . , a1         = koefisien – koefisien sukubanyak yang merupakan konstanta real dan an ≠ 0,
a0            = suku tetap yang merupakan konstanta real,
n          = derajat suku banyak, merupakan bilangan cacah.
Bentuk di atas dinamakan Suku Banyak atau Polinom dalam x yang berderajat n dimana n adalah bilangan cacah dan an ≠ 0.
Derajat suatu suku banyak dalam x adalah pangkat tertinggi dari x dalam suatu suku banyak.
Contoh :
      X2 + 4x + 4 dinamakan suku banyak dalam x yang berderajat dua.
      X3 – 5x2 + 7x + 3 adalah suku banyak dalam x yang berderajat 3.

B.     Operasi Aljabar Suku Banyak
Operasi aljabar pada suku banyak berupa penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, memiliki sifat dan aturan yang sama seperti operasi aljabar pada bilangan real.
Contoh :
      Diketahui : f(x) = x3 + 2x + 3 dan g(x) = x5 + 3x4 – 7x2 – 3x + 1
      Tentukan : a. F(x) + g(x)
                        b. f(x) – g(x)
                        c. f(x) x g(x)

      Jawab :
a.       F(x) + g(x)             = ( x3 + 2x + 3 ) + ( x5 + 3x4- 7x2 – 3x + 1 )
= x5 + 3x4 + x3 – 7x2 – x + 4
b.      F(x) – g(x)             = ( x3 + 2x + 3 ) - ( x5 + 3x4- 7x2 – 3x + 1 )
= - x5 – 3x4 + x3 + 7x2 + 5x + 2
c.       F(x) x g(x)             = ( x3 + 2x + 3 ) x ( x5 + 3x4- 7x2 – 3x + 1 )
= x8 + 2x6 + 3x5 + 3x7 + 6x5 + 9x4 – 7x5 – 14x3 – 21x2     3x4 – 6x2 – 9x + x3 + 2x + 3
= x8 + 3x7 + 2x6 +2x5 +6x4 – 13x3 – 27x2 – 7x + 3
C.    Kesamaan Suku Banyak
Cloud Callout: f(x) ≡ g(x)Suku banyak f(x) dikatakan sama dengan g(x) jika memiliki nilai sama untuk peubah x. Notasi dari kesamaan suku banyak f(x) dan g(x) dituliskan dengan:



Berikut ini adalah definisi kesamaan suku banyak
Text Box: Misalnya diberikan sukubanyak f(x) dan g(x) dengan
f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + . . . + a2x2 + a1x + a0
g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + . . . + b2x2 + b1x + b0
f(x) sama dengan g(x) ditulis f(x) ≡ g(x) jika berlaku :
an = bn , an-1 = bn-1 , an-2 = bn-2 , . . . , a2 = b2 , a1 = b1 , a0 = b0
  








Contoh :
Carilah nilai a dan b dari kesamaan berikut ini :
a.       x3 + 4x2 – 7x + a   = (x-2) (x+1) (x+b)
= ( x2 – x – 2 ) ( x + b )
= x3 + (b – 1 )x2 – b(b + 2)x – 2b
                                    b – 1 = 4        koefisien x3
                                    b + 2 = 7        koefisien x
                                    dari kedua persamaan di atas di dapat b = 5
                                    a          = -2b
                                                = -2(5) = 10
b.   
 
(a+b)x + 3(a – b) = 6x
a + b          = 6
a – b          = 0
      2a        = 6
      a          = 3
      b          = 3

    II.            NILAI SUKU BANYAK
A.    Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Substitusi
Nilai suku banyak P(x) untuk x = k , ditentukan dengan melakukan subtitusi nilai k ke dalam variabel – variabel x pada suku banyak tersebut.
Contoh :
Tentukan nilai suku banyak P(x) = x5 – 2x4 + 3x3 + 4x2 – 10x + 3 untuk x = 1 dan x = -2
Jawab :
P(x) = x5 – 2x4 + 3x3 + 4x2 – 10x + 3
Untuk x = 1        P(1)        = (1)5 – 2(1)4 + 3(1)3 + 4(1)2 – 10(1) + 3
                                          = 1 – 2 + 3 + 4 – 10 + 3
                                          = – 1
Untuk x = - 2         P(-2)   = (-2)5 – 2(-2)4 + 3(-2)3 + 4(-2)2 – 10(-2) + 3
                                          = - 32 – 32 – 24 + 16 + 20 + 3
                                          = - 49





B.     Menentukan Nilai Suku Banyak Menggunakan Skema (Bagan)

Langkah pertama yang perlu dilakukan adalah mengurutkan penulisan suku banyak dari kiri ke kanan mulai pangkat tertinggi. Jika f(x) = ax3 + bx2 + cx + d dan h merupakan bilangan nyata, maka untuk menghitung f(h) =ah3 + bh2 + ch+d dapat digunakan cara sebagai berikut :
Ø  Kalikan a dengan h kemudian ditambah b
Ø  Kalikan ( ah + b ) dengan h, kemudian ditambah c
Ø  Kalikan ( ah2 + bh + c ) dengan h, kemudian ditambah d
Cara di atas dapat disusun di dalam bentuk skema sebagai berikut :
h          a          b          c                      d
                        ah        ah2 + bh           ah3 + bh2 + ch
            a          ah + h ah2 + bh + c     ah3 + bh2 + ch + d      
contoh soal :
P(x) = x5 – 2x4 + 3x3 + 4x2 – 10x + 3 untuk x = 1
X = 1   1          -2         3          4          -10       3
                        1          -1         2          6          - 4        +
            1          -1         2          6          - 4        - 1        Hasil P(1) adalah - 1  
Keterangan :
Simbol         bearti kalikan dengan cara input ( dalam hal ini angka input = 1 karena yang akan dicari nilai suku banyak, P(x) dengan x = 1).

 III.            PEMBAGIAN SUKU BANYAK
Jika f(x) suatu suku banyak dibagi dengan g(x) sehingga menghasilkan h(x) sebagai hasil bagi ditambah sisa s(x), maka pembagian tersebut dapat disusun dengan sebagai berikut :

Rectangular Callout: (f(x))/(g(x))=h(x)+ (s(x))/(g(x)) 
Atau
f(x) : g(x) = h(x) + s(x)
Atau
f(x) = h(x) . g(x) + s(x)           




Keterangan :
            F(x)     = suku banyak yang dibagi
            G(x)     = Pembagi
            H(x)     = hasil bagi
            S(x)     = sisa pembagian
Perhatikan, jika f(x) berderajat n, g(x) berderajat m dan m ≤ n maka h(x) berderajat ( n – m ), sedangkan s(x) berderajat maksimum m – 1.
Penentuan pembagian suku banyak dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :
A.    Pembagian Bersusun
Pembagian suku banyak dengan menggunakan cara bersusun ini mirip dengan prosedur pembagian pada bilangan bulat. Untuk lebih jelasnya, amati penyelesaian contoh soal sebagai berikut ini.
Contoh soal:
Tentukan hasil dan sisa pembagian f(x) = x3 + 5x2 – 4x – 20 oleh x + 3 !
Jawab :
f(x) berderajat 3, g(x) berderajat 1, hasil bagi h(x) berderajat 3 – 1 = 2, sisa pembagian s(x) berderajat 1 – 1 = 0.





                                          x2 + 2x – 10          hasil bagi
Pembagi         x + 3                     yang dibagi
   x3 + 3x2                                _
            2x2 – 4x
            2x2 + 6x                       _
-10x – 20
-10x – 30      _
           10         sisa
Dengan cara ini didapatkan hasil bagi h(x) x2 + 2x – 10, sedangkan sisanya s(x) = 10.
     Adapun langkah – langkah pembagian suku banyak dengan pembagian bersusun adalah sebagai berikut :
a.       Membagi suku pertama suku banyak yang akan dibagi ( x3 ) dengan suku pertama pembagi ( x ) yang menghasilkan x2 ( suku pertama hasil bagi ).
hasil         x2
x + 3         
      Dibagi
b.      Kalikan suku pertama hasil bagi tersebut dengan pembagi, x2(x+3)=x3+3x2 hasil bagi ini digunakan untuk mengurangi suku banyak yang dibagi.
Dikalikan       x2
x + 3         
                     x3 + 3x2                                _
Hasil                      2x2 – 4x          
c.       Ulangi prinsip langkah a dan b hingga semua suku yang dibagi telah digunakan.
                x2 + 2x
x + 3         
                     x3 + 3x2                                _
                        2x2 – 4x
                        2x2 + 6x                       _
. . . . . . . . . . dan seterusnya
B.     Pembagian Menggunakan Koefisien tak tentu

Pembagian dengan cara ini menggunakan istilah koefisien tak tentu karena kita harus memisalkan dulu hasil bagi dan sisa pembagian dalam bentuk aljabar yang koefisien – koefisiennya masih harus ditentukan kemudian. Untuk lebih jelasnya perhatikan penyeleaian soal pada berikut ini.
Cloud Callout: f(x) : g(x) = h(x) + s(x) Atau
f(x) = h(x) . g(x) + s(x)Suku banyak yang dibagi f(x) = x3 + 5x2 – 4x – 20 (berderajat 3), sedangkan pembagi g(x) = (x+3) berderajat 1. Bentuk umum :





Dalam hal ini, h(x) berderajat 3 – 1 = 2, dimisalkan berbentuk ax2 + bx + c. Derajat sisa pembagian adalah derajat pembagi dikurangi satu, 1 – 1 = 0, dimisalkan s(x) = d.
Kita tulis kembali bentuk umum persamaan tadi:
x3 + 5x2 – 4x – 20 = ( x + 3 ) (ax2 + bx + c ) + d
                              = ax3 + 3ax2 + bx2 + 3bx + cx + 3c + d
                              = ax3 + (3a + b )x2 + ( 3b + c )x + (3c + d )
Selanjutnya, kita sesuaikan koefisien ruas kiri dan ruas kanan.
a = 1
( 3a + b )    = 5        3(1) + b          = 5        b = 2
( 3b + c )    = -4       3(2) + c          = -4       c = -10
( 3c + d )   = -20        3(-10) + d   = -20       d = 10
Jadi, h(x) = x2 + 2x – 10 dan s(x) = 10.

C.     Pembagian Sintetik ( Cara Horner / Skematik )
Misalkan f(x) = ax3 + bx2 + cx + d dibagi dengan x – h, diperoleh hasil bagi ax2+(ah+b)x+(ah2+bx+c) dengan sisa pembagiannya adalah f(h)=ah3+bh2+ch+d.
Ada beberapa bentuk pembagian suku banyak yang dapat diselesaikan dengan cara horner.


a.       Pembagian Suku Banyak oleh ( x – k )

Sisa pembagian suku banyak tersebut pada x = k. Kondisi x = k tersebut merupakan nilai dimana pembagi (x – k ) bernilai nol. Selanjutnya kita amati penentuan nilai suku banyak f(x) = ax2 + bx + c untuk x = k menggunakan skema yang telah kita pelajari.
                  ax2 + bx + c
x = k          a          b          c
                              ak        bk + ak2           +
                  a          (b+ak)  ak2 + bk + c

contoh :
Suku banyak 3x3 + 7x2 + ax – 5 dibagi ( x + 2 ) sisanya 17. Tentukan nilai a dan hasil baginya !
Jawab :
f(x) = 3x3 + 7x2 + ax – 5, pembagi bernilai noljika x + 2 = 0 maka x = -2. Substitusikan x = -2 pada f(x) menghasilkan sisa pembagian.
f(-2) = s(-2)           = 3(-2)3 + 7(-2)2 + a(-2) – 5     = 17
                              = - 24 + 28 – 2a – 5                 = 17
    – 2a = 18
a    = - 9
Jadi, f(x) = 3x3 + 7x2 - 9x – 5. Hasil pembagian akan ditentukan dengan pembagian sintetik cara horner.
X = - 2      3          7          - 9        - 5
                                                            -6         -2         22        +
                                                3          1          -11       17
Diperoleh hasil pembagian, h(x) = 3x2 + x – 11


b.      Pembagian Suku Banyak oleh ( ax – b )

Pembagian suku banyak oleh ( ax – b ) merupakan perluasan dari pembagian suku banyak oleh ( x – k ). Bentuk umum pembagian suku banyak oleh ( ax – b ) dengan hasil h(x) dan sisanya s(x) adalah :


Cloud Callout: f(x) : ( ax – b ) = h(x) + s(x)
 f(x)  = ( ax – b ) . h(x) + s(x)
 





Bentuk umum pembagian suku banyak oleh ( x – k ) dengan hasil h(x) dan sisanya s(x) adalah :


Rectangular Callout: f(x) = ( x – k ) . h(x) + s(x)
 



Dimisalkan k =  maka diperoleh :


Rounded Rectangular Callout: f(x) = (x- b/a)  .h(x)+ s(x)= (( ax-b ))/a  h(x)+ s(x)=( ax-b )  h(x)/a+ s(x)
 




Berdasarkan uraian tersebut dapat diperoleh hal – hal berikut :
v  Suku banyak f(x) dibagi ( ax – b ) menghasilkan  , dengan h(x) adalah hasil bagi f(x) oleh .
v  Siisa pembagian f(x) oleh ( ax – b ) sama dengan sisa pembagian oleh .
Contoh :
Tentukan hasil dan sisa pembagian dari f(x) = 4x3 + 4x2 – x + 15 oleh (2x+3) !




Jawab :
Kita akan menggunakan cara horner. Pembagi bernilai nol jika x=.
x=        4          4          -1         15
                             -6         3          -3         +
                 4          -2         2          12
Hasil bagi =  sisanya s(x)=12.

c.       Pembagian Suku Banyak oleh ( ax2 + bx + c ) dengan a ≠ 0
Pembagian suku banyak f(x) oleh ax2 + bx + c dengan cara horner dapat dilakukan jika bentuk pembagi (ax2 + bx + c ) dapat difaktorkan. Bentuk umum pembagian ini adalah :


Cloud Callout: F(x) : (ax2 + bx + c ) = h(x) + s (x)
 



Dengan h(x) dan s(x) berturut – turut adalah hasil dan sisa pembagian. Misalnya (ax2 + bx + c ) dapat difaktorkan menjadi f1 . f2        ax2 + bx + c maka :


Rectangular Callout: F(x) = (ax2 + bx + c) . h(x) + s(x) = f1 . f2 h(x) + s(x)
 




Urutan langkah – langkah penentuan hasil dan sisa pembagian sku banyak tersebut adalah :
1)      Melakukan pembagian suku banyak f(x) oleh f1 dengan hasil h0(x) dan sisanya s1.
2)      Melakukan pebagian h0(x) oleh f2 dengan hasil h(x) dan sisanya s2
3)      Hasil bagi f(x) oleh (g(x) = f1 . f2 ) adalah h(x), sedangkan sisanya adalah s(x) = f1 . s2 + s1­.



Contoh :
Tentukan hasil dan sisa pembagian x4 – 3x2 + x – 2 oleh x2 – x – 2 !
Jawab :
f(x) = x4 – 3x2 + x – 2
g(x) = x2 – x – 2 difaktorkan menjadi (x – 2) (x + 1) = f1 . f2
f1 = (x – 2) bernilai nol pada x = 2
f2 = (x + 1) bernilai nol pada x = - 1
Selanjutnya kita gunakan cara horner sbagai berikut :
                 f(x) = x4 + 0x3 – 3x2 + x – 2
x = 2         1          0          - 3        1          - 2
                             2          4          2          6   +
                 1          2          1          3          4
x = - 1
                             -1         -1         0     +
                 1          1          0          3
Jadi, hasil pembagian x4 – 3x2 + x – 2 oleh x2 – x – 2 adalah h(x) = x2+ x sedangkan sisanya dapat dihitung dengan rumus s(x) = f1 . s2 + s1.
S(x)           = (x – 2 ) (3) + 4
                 = 3x – 6 + 4
                 = 3x – 2
NB: Bagaimana jika pembagi yang berbentuk ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan ? untuk kasus seperti ini anda dapat melakukan pembagian bersusun atau menggunakan koefisien tak tentu dalam penentuan hasil dan sisa pembagian suku banyak tersebut.

D.    Identitas
Identitas digunakan untuk mencari hasil bagi dan sisanya jika pembagiannya bukan linier serta tidak dapat diuraikan menjadi faktor linier yaitu dengan cara :


Oval Callout: Bentuk yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa
 





Dengan ketentuan sebagai berikut :
v  Derajat suku banyak dibagi dikurangi derajat pembagi = drajat hasil bagi
v  Derajat sisa setinggi – tingginya sama dengan derajat pembagi dikurangi satu.
Contoh :
Tentukan sisa pembagian x3 – 3x2 + 4x + 2 dengan pembagi x2 – x – 2
Jawab :
Pembagi berderajat dua, maka sisanya berderajat satu.
Sisa = ax + b
Pembagi   = x2 – x – 2
                 = ( x – 2 ) ( x + 1 )
Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa
x3 – 3x2 + 4x + 2 = ( x – 2 ) ( x + 1 ) h(x) + ax + b

jika x = 2 maka:
(2)3 – 3(2)2 + 4(2) + 2  = 0 + 2a + b
8 – 12 + 8 + 2              = 2a + b
2a + b = 6
Jika x = -1 maka :
(-1)3 – 3(-1)2 + 4(-1) + 2          = 0 – 1 + b
- 1 – 3 – 4 + 2                          = - a + b
- a + b = - 6

Dari kedua persamaan yang terdapat di atas sehingga dapat diperoleh :

2a + b       = 6
-a + b        = - 6     _
     3a        = 12
     a          =  = 4
jika a = 4 maka,
2(4) + b = 6
b = 6 – 8
b = - 2

Jadi, sisa pembagiannya adalah 4x - 2

             IV.            Teorema Sisa
1.      Pembagian oleh ( x – k )
Jika sukubanyak f(x) berderajat n dibagi dengan ( x – k ), maka sisanya S=f(k)
 
Pada pembahasan Cara Horner untuk menentukan hasil pembagian suku banyak telah diulas bahwa sisa pebagian suku banyak oleh ( x – k ) merupakan nilai suku banyak tersebut pada x = k. Perhatikan teorema berikut ini.

                        Bukti :
                        f(x) = ( x – k ) h(x) + s
                        untuk  x – k = 0
                        x = k                f(k) = ( k – k ) h(k) + s
                                                f(k) = 0 + s
                                                f(k) = s
                        Jadi, sisa S = f(k) terbukti.
2.      Pembagian oleh ( ax – b )
Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (ax-b), maka sisanya S=f
 
Analogi dengan pembagian sukubanyak oleh ( x – k ), sisa pembagian suku banyak f(x) oleh ( ax – b ) dapat pula ditentukan dengan nilai suku banyak f(x) tersebut pada x =  . Nilai x =  ini merupakan syarat agar pembagi, yaitu (ax-b) bernilai nol. Simaklah Teorma berikut ini.





Bukti :

ax – b = 0
x          =
f(x)      = (ax – b )  + S(x)
f   =  + S(x)
f  = 0  + S(x)
f  = S(x)

jadi, sisanya S(x) = f  
3.      Pembagian oleh ( x – a ) ( x – b )
Rounded Rectangular Callout: f(x) = ( x – a ) ( x – b ) h(x) + S(x) Pembagian suku banyak f(x) oleh (x-a) (x-b) dengan hasil baginya h(x) dan sisanya s(x) dapat ditulis :

Rounded Rectangular Callout: f(x) = ( x – a ) ( x – b ) h(x) + ( px + q ) Karena pembagi berderajat dua maka S setinggi – tingginya berderajat satu misalnya S = ( px + q )

Untuk x = a                 f(a) = 0 + pa + q
                                    f(a) = pa + q ….. (1)
untuk x = b                  f(b) = 0 + pb + q
                                    f(b) = pb + q ….. (2)
Dengan eliminasi (1) dan (2) diperoleh :
P =  dan q =  
S(x) = px + q
S(x) =  +
                V.            Teorema Faktor
Jika f(x) merupakan suku banyak, maka f(a) = 0 jika dan hanya jika (x-a) merupakan faktor dari f(x).
Dan jika suku banyak f(x) dibagi oleh ( x – a ) ( x – b ) maka sisanya adalah :
Rounded Rectangular Callout: S(x) = (( x-a ))/(( b-a ))  f(b)+ (( x-b ))/(( a-b ))  f(a) 














PENUTUP
v  Barisan Aritmatika
Ialah suatu barisan bilangan-bilangan dimana beda (selisih) diantara dua suku berurutan merupakan bilangan konstan (tetap).
Bentuk Umum
            U1, U2, U3, ..., Un
Contoh
            2, 6, 10, 14, 18, ...                   (Barisan Aritmatika Naik)
            20, 15, 10, 5, 0, -5, ...              (Barisan Aritmatika Turun)
Model Barisan Aritmetika
            a, a+b, a+b+b, a+b+b+b, ..., a+b+b+...+b
v  Deret Aritmatika
Deret Aritmatika ialah suku-suku dari barisan aritmatika yang dijumlahkan. Jika diketahui U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmatika kemudian dijumlahkan menjadi U1 + U2 + U3 + ... + Un   
Bentuk Umum
            U1 + U2 + U3 + ... + Un   
Contoh
            2 + 6 + 10 + 14 + 18 + ...                   
            1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + ... 
v  Rumus – Rumus
Beda b = Un – Un-1
            Dimana Un-1 adalah suku sebelum Un dan U1 = a
Suku ke-n  (Un )
            Un = a + (n – 1)b  dimana : a = suku pertama
                                                        b = beda / selisih
                                                        n = banyaknya suku
Suku tengah (Ut)
            Jika banyaknya suku dari suatu barisan aritmatika adalah ganjil maka terdapat suku tengah.
            a, ..., Ut, ... , Un                   untuk n ganjil
              Ut = 1 / 2  (a + Un )
v  Deret Aritmatika Tak Hingga
Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yang banyak sukunya tak hingga. Maksudnya jika deret tersebut diteruskan , maka tidak terhitung banyak seluruh deret geometri tersebut.
RUMUS:
S=  a / 1 – r    di mana |r| < 1 atau – 1 < r < 1
 S= a + ar + ar2 + ar3 + ... = a / 1 – r
v  Suku Banyak
Bentuk Umum :
            P(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + an – 2xn – 2 + . . . + a1x + a0
Keterangan :
            an , an – 1 , . . . , a1         = koefisien – koefisien sukubanyak yang merupakan konstanta real dan an ≠ 0,
            a0            = suku tetap yang merupakan konstanta real,
            n          = derajat suku banyak, merupakan bilangan cacah.
Bentuk di atas dinamakan Suku Banyak atau Polinom dalam x yang berderajat n dimana n adalah bilangan cacah dan an ≠ 0.
Derajat suatu suku banyak dalam x adalah pangkat tertinggi dari x dalam suatu suku banyak.
v  Nilai Suku Banyak
Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Substitusi
Nilai suku banyak P(x) untuk x = k , ditentukan dengan melakukan subtitusi nilai k ke dalam variabel – variabel x pada suku banyak tersebut.
Menentukan Nilai Suku Banyak Menggunakan Skema (Bagan)
v  Pembagian Suku Banyak
Jika f(x) suatu suku banyak dibagi dengan g(x) sehingga menghasilkan h(x) sebagi hasil bagi ditambah sisa s(x), maka pembagian tersebut dapat disusun dengan sebagai berikut :
f(x) : g(x) = h(x) + s(x) Atau f(x) = h(x) . g(x) + s(x)
Keterangan :
F(x)     = suku banyak yang dibagi
G(x)     = Pembagi
H(x)     = hasil bagi
S(x)     = sisa pembagian

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar