Bab I
Pendahuluan
1.1 LATAR BELAKANG
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Bahkan di negara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel.
Matriks pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrunen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan.
1.2 RUMUSAN MASALAH
a. Siapakah yang pertama kali yang mengenalkan matriks?
b. Dalam kehidupan sehari-hari matriks digunakan untuk apa?
c. Apa pengertian dari matriks itu sendiri?
1.3 TUJUAN
Adapun tujuan mempelajari matriks antara lain:
1. Untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubumgan variable -variabel dari suatu persoalan.
2. Untuk menyelesaikan system persamaan linier, transformasi geometri, proram computer, dan jadwal siaran televise.
1.4 MANFAAT
Adapun manfaat dari mempelajari materi tentang matriks antara lain:
1. BAGI MAHASISWA
a. Mahasiwa mampu menggunakan konsep matriks, vector, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
b. Mahasiswa bisa menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain.
c. Mahasiswa dapat menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian system persamaan linier dua variabel.
Bab II
Pembahasan
2.1 SEJARAH MATRIKS
Kata matriks pertama kali diperkenalkan oleh James Joseph Sylvester (1814 - 1897) pada tahun 1850 untuk menunjukkan susunan bilangan – bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang. Sebelum tahun 1858, Arthur Cayley menulis tentang transformasi linier yang menggambarkan bahwa matriks secara formal merupakan suatu cabang matematika.
Jauh sebelumnya itu, kira-kira 250 tahun SM, ahli matematika cina menggunakan metode matriks untuk memecahkan sistem persamaan linier simultan.
2.2 PENGERTIAN MATRIKS
Matriks merupakan suatu susunan angka-angka yang bukan bertujuan untuk memberikan jumlah nilai bagi sekumpulan angka tersebut.
Definisi :
Matriks adalah sekelompok bilangan yang disusun berbentuk persegi panjang atau persegi. Anggota yang ditulis mendatar disebut baris dan yang ditulis menurun disebut jalur yang semua anggotanya terletak di dalam suatu tanda kurung.
Dalam kehidupan sehari-hari, matriks digunakan antara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, transformasi geometri, program komputer, dan jadwal siaran televisi. Salah satu penerapan matriks terlihat dalam tabel berikut ini.
Daftar stok buku pelajaran pada tiga toko buku
| Toko buku | Matematika | Fisika | Kimia | Biologi |
| A | 38 | 25 | 20 | 8 |
| B | 35 | 18 | 24 | 5 |
| C | 6 | 21 | 19 | 17 |
Angka-angka pada tabel di atas dapat disusun menurut aturan persegi panjang dalam tanda kurung biasa sebagai berikut :
Angka-angka yang disusun berbentuk persegi panjang menurut aturan baris dan lajur dalam tanda kurung biasa atau siku dinamakan matriks. Misal :
| Baris ke-1 |
| Baris ke-3 |
| Baris ke-2 |
| Lajur ke-4 |
| Lajur ke-5 |
| Lajur ke-6 |
| Lajur ke-7 |
Angka-angka pada matriks P seperti 38, 25, 20,..... disebut unsur-unsur atau anggota matriks P. Anggota dalam baris ke-i dan lajur ke-j biasanya diwakili oleh simbol .
Misalnya, dalam matriks P di atas mewakili 24, yaitu anggota matriks yang terletak pada baris ke-2 dan lajur ke-3.
2.3 ORDO SUATU MATRIKS
Penulisan nama suatu matriks umumnya menggunakan huruf kapital. Misalnya matriks P seperti matriks di bawah.
P =
Matriks P di atas mempunyai 3 baris dan 4 lajur,sehingga ordo matriks P adalah 3 x 4.
Jika suatu matriks A mempunyai baris sebanyak m dan mempunyai kolom/lajur sebanyak n, maka ordo matriks A ialah m x n. Matriks A, B, dan C adalah contoh matriks dengan ordo yang yang berbeda.
| Ordo A = 2 x 3 A |
| Ordo C = 1 x 3 A |
| Ordo D = 4 x 1 A |
| Ordo B = 3 x 2 A |
2.4 MATRIKS-MATRIKS KHUSUS
2.4.1 Matriks Lajur
Matriks A di bawah mempunyai 1 lajur dan 4 baris. Matriks yang mempunyai 1 lajur disebut matriks lajur, dan matriks A di bawah mempunyai ordo 4 x 1.
| Pada umumnya, jika suatu matriks A mempunyai ordo m x 1, maka matriks A disebut matriks lajur. |
Matriks B dan C di bawah ini adalah contoh matriks lajur.
| Ordo B = 3 x1 |
| Ordo C = 5 x 1 |
2.4.2 Matriks Baris
| Pada umumnya, jika suatu matriks P mempunyai ordo 1 x n, maka matriks P disebut matriks baris. |
Matriks Q dan R di bawah ini adalah contoh matriks baris
| Ordo Q = 1 x 4 |
| Ordo R = 1 x 5 |
2.4.3 Matriks Persegi
Matriks A di samping mempunyai 3 baris dan 3 lajur. Matriks yang mempunyai banyak baris dan banyak baris dan banyak lajur sama disebut matriks persegi. Ordo matriks A ialah 3 x 3.
| Pada umumnya, jika suatu matriks A mempunyai ordo (m x m), maka matriks A disebut matriks persegi. |
Matriks M dan N di bawah ini adalah contoh matriks persegi.
| Ordo N = 4 x 4 |
| Ordo M = 2 x 2 |
2.4.4 Matriks Segitiga
Suatu matriks persegi dengsn semua unsur yang berada di bawah atau di atas diagonal utama adalah nol disebut matriks segitiga.
Contoh :
G = H =
diagonal utama diagonal utama
2.4.5 Matriks Nol
Jika semua anggota suatu matriks merupakan angka nol, maka matriks itu disebut matriks nol.
Matriks nol biasanya diwakili oleh .
Matriks-matriks di bawah ini adalah contoh matriks .
= , = , dan =
2.4.6 Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan anggota diagonal utama sekurang-kurangnya satu bilangan bukan nol, dan anggota yang lain nol.
Matriks-matriks di bawah ini adalah contoh matriks diagonal.
W = , G = , H =
Ordo Ordo Ordo
W = 2 x 2 G = 4 x 4 H = 3 x 3
2.4.7 Matriks Skalar
Matriks D di bawah adalah matriks diagonal.
| Jika anggota-anggota a11 = a22 = a33 = k , di mana k suatu bilangan bukan nol dan satu, maka matriks D disebut matriks skalar. |
Matriks-matriks di bawah ini merupakan contoh matriks skalar.
A = , dan C =
Jika pada matriks skalar nilai k = 1, maka matriks itu disebut matriks identitas.
2.4.8 Matriks Identitas
Matriks I di bawah adalah matriks persegi dengan anggota pada diagonal utama adalah satu, dan yang lainya adalah nol.
| Matriks persegi seperti matriks I disebut matriks identitas. |
Ordo matriks I = 3 x 3 dan pada umumnya ditulis I3.
Matriks-matriks di bawah ini adalah contoh matriks identitas.
=
2.4.9 Matriks Transpos
Misalkan diketahui ordo matriks A adalah 3 x 3. Matriks A transpos ditulis AT atau At dibentuk dengan menulis baris pertama matriks A sebagai lajur pertama bagi matriks AT, baris kedua dari A sebagai lajur kedua bagi AT , dan baris ketiga dari A sebagai lajur ketiga bagi AT.
| Ordo A = 3 x 4 |
| Ordo AT = 4 x 3 |
Matriks AT yang dibentuk dengan menulis setiap baris dari A swbagai lajur yang bersesuaian bagi AT disebut matriks A transpos.
| Jika P = maka = |
| Jika Q = maka QT = |
2.4.10 Kesamaan Dua Buah Matriks
Matriks A dan matriks B di bawah ini menunjukkan bahwa :
i. ordo matriks A sama dengan ordo matriks B, dan
ii. setiap anggota dalam matriks A dan matriks B yang bersesuaian juga sama.
| Ordo A = 2 x 3 Ordo B = 2 x 3 |
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama jika :
(1) mempunyai ordo sama, dan
(2) anggota-anggota yang bersesuaian juga sama.
2.4.11 Matriks Simetri
Suatu matriks A dengan merupakan transpos dari matriks A adakalanya bernilai sama atau dalam bentuk A = . Matriks demgan sifat seperti ini disebut matriks simetri.
Contoh :
karena ,maka matriks B merupakan matriks simetri.
2.5 PENJUMLAHAN MATRIKS
Setelah mendefinisikan pengertian matriks, selanjutnya akan mendefinisikan operasi penjumlahan sehingga dapat dibentuk aljabar matriks.
Tabel berikut menunjukkan nilai ujian yang diperoleh Ali dan Boi untuk bidang study Matematika, Fisiska, Kimia, dan Biologi.
| Bidang Studi | Ujian ke-1 | Ujian ke-2 | Ujian ke-3 | Jumlah | ||||
| Ali | Boi | Ali | Boi | Ali | Boi | Ali | Boi | |
| Matematika | 94 | 90 | 86 | 88 | 91 | 94 | 271 | 272 |
| Fisika | 85 | 87 | 75 | 72 | 94 | 88 | 254 | 247 |
| Kimia | 76 | 79 | 84 | 81 | 92 | 90 | 252 | 250 |
| Biologi | 82 | 81 | 97 | 94 | 80 | 83 | 259 | 258 |
Informasi-informasi yang ditunjukkan dalam tabel tersebut dapat di ungkapkan dalam bentuk penjumlahan matriks sebagai berikut.
A B C D
+ + =
Ujian 1 Ujian 2 Ujian 3 Jumlah
Contoh tersebut menunjukkan bahwa jika tiga matriks A, B, dan C mempunyai ordo sama, maka jumlah tiga matriks itu merupakan suatu matriks D yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak pada ketiga mtriks itu.
Dua buah matriks dapat dijumlahkan jika ordo kedua matriks tersebut sama. Bentuk operasinya adalah dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak pada kedua matriks tersebut.
Jika diberikan matriks A = dan matriks B = , maka
A + B = C ⇔ ordo A = ordo B , dan ordo C = ordo A = ordo B
Contoh :
=
2.6 PENGURANGAN MATRIKS
Telah kita ketahui bahwa setiap matriks mempunyai lawan, maka dapat kita tulis A + (-B) sebagai A – B. Dengan kata lain, matriks A dikurangi matriks B didefinisikan sebagai matriks A ditambah dengan lawan dari matriks B ; A – B = A + (-B).
Contoh:
Jika A = dan B = , hitunglah A – B.
Jawab:
A – B = - = + =
2.7 PERKALIAN BILANGAN REAL DENGAN MATRIKS
Dalam aljabar matriks, kita sering menyebutkan bilangan real sebagai suatu skalar. Hasil kali skalar k dan matriks A dituliskan dengan notasi
k . A = A . k
k (A + B) = k . A + k . B
k (A – B) = k . A – k . B
Matriks kA adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan hasil kali dari k dengan elemen-elemen matriks A.
Misalkan
P =
Sehingga,
P + P = + = =
Oleh karena itu P + P = 2P maka
2P = 2 =
Demikian juga, P + P + P = 3P
3P = 3 =
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa jika k adalah bilangan real, maka
| |
Contoh:
Diketahui A = dan B = carilah dalam bentuk paling sederhana matriks 3A – 2B.
Jawab :
3A – 2B = 3
2.8 PERKALIAN MATRIKS
Daftar pembelian alat tulis dari dua orang anak di sebuah toko beserta daftar harga alat tulis tersebut pada tabel di bawah ini.
| | Pensil | Buku | | Harga | | Pengeluaran | ||
| Ani | 3 | 2 | | Buku | 1.000 | | Ani | 6.000 |
| Budi | 4 | 5 | Pensil | 1.500 | Budi | 11.500 | ||
Dari kedu daftar tersebut dapat diperoleh daftar baru yang merupakan jumlah uang belanja dari kedua anak tersebut.
Proses penjumlahan hasil kali yang diperoleh dari perkalian elemen-elemen pada kolom matriks yang satu dengan elemen-elemen pada kolom matriks yang lain disebut perkalian dua matriks. Jika daftar pertama dinamakan matriks A dan daftar kedua adalah matriks B, maka daftar ketiga merupakan hasil kali matriks A dan B yang dituliskan dengan notasi AB, sedangkan proses perkalian matriks tersebut di atas dapat disajikan sebagai berikut.
Dengan memperhatikan perkalian di atas, suatu matriks mempunyai hasil kali jika banyak lajur matriks kiri sama dengan banyak baru matriks kanan.
Perhatikan perkalian matriks di bawah ini.
Secara umum dapat dikatakan bahwa matriks A (matriks kiri) dan matriks B (matriks kanan) dapat dikalikan, jika matriks A berordo m x n dan matriks B berordo n x p. Sedangkan hasil kali matriks A x B adalah matgriks berordo m x p.
Berikut ini akan ditunjukkan proses perkalian dua matriks yang berordo 2 x 2.
Contoh :
Jika A =
Maka tentukan :
a. AB b. BA
Jawab :
a. AB =
b. AB =
Dari hasil perkalian duaq matriks di atas terlihat bahwa hasil perkalian AB adalah matriks nol meskipun matriks A dan B masing-masing bukan nol. Contoh di atas menunjukkan bahwa AB BA yang berarti tidak berlaku sifat komutatif pada perkalian dua matriks. Istilah yang digunakan dalam aljabar, matriks perkalian AB adalah matriks B dikalikan dari kiri oleh matriks A dan perkalian BA adalah matriks B dikalikan dari kanan oleh matriks A.
Definisi :
· Jika pada matriks persegi berlaku A = , untuk k = 1, sehingga , maka matriks A disebut matriks idempoten.
· Jika A dan B dua buah matriks persegi dengan sifat AB = BA maka A dan B disebut commute.
Matriks Satuan ( Identitas )
Jika matriks A =
maka AI =
IA =
Matriks di atas tersebut ditunjukkan bahwa AI = IA dan hasil kalinya adalah matriks A. Demikian pula, jika sembarang matriks yang berordo 2 x 2 dikalikan dengan matriks (matriks satuan berordo 2 x 2), maka hasil kalinya adalah matriks itu sendiri. Matriks tersebut dinamakan matriks satuan atau identitas perkalian yang berordo 2 x 2.
2.9 INVERS MATRIKS PERSEGI ORDO 2 X 2
Untuk setiap bilangan real n yang bukan nol selalu mempunyai invers perkalian sedemikian sehingga:
Contoh matriks berordo 2 x 2 :
Jika
maka,
Dari hasil tersebut terlihat bahwa AB = BA = I. Seperti pada sistem bilangan real, maka B disebut matriks invers perkalian dari matriks A yang dinotasikan dengan , dan sebaliknya A adalah matriks invers perkalian dari matriks B yang dinotasikan .
Untuk selanjutnya, invers perkalian suatu matriks A cukup disebut dengan invers dari matriks A. Berdasarkan contoh di atas, maka secara umum dapat dikatakan bahwa:
Jika matriks A dan B adalah matriks yang berordo 2 x 2 sedemikian sehingga AB = BA = I, maka B adalah invers A dan A adalah invers dari B.
Secara umum rumus invers matriks ordo 2 x 2 sebagai berikut:
Jika
maka,
=
Sehingga diperoleh:
ap + br = 1 .....pernyataan (1)
cp + dr = 0 ..... pernyataan (2)
aq + bs = 0 ..... pernyataan (3)
cq + ds = 1 ..... pernyataan (4)
Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut, diperoleh:
Jadi, invers matriks A adalah
Jadi,
Dalam hal ini (ad – bc) disebut determinan matriks A dan dinotasikan dengan | A |.
3.0 PERSAMAAN MATRIKS BERBENTUK AX = B DAN XA = B
Untuk menyelesaikan persamaan matriks berbentuk AX = B dan XA = B dapat diselesaikan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
| AX = B | XA = B |
| ( IX = X = | (XA) X(A XI = B X = B |
Seperti pada langkah tersebut, untuk persamaan XA = B, masing-masing ruas dikalikan dari kanan dengan , sehingga diperoleh bentuk penyelesaian X = B
Contoh:
Carilah matriks X dari X =
Jawab: X =
X =
X =
3.1 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan matriks hampir sama dengan cara menyelesaikan persamaan matriks berbentuk AX = B X = , hanya saja X dan B merupakan matriks berordo 2 x 1.
Secara umum:
Jika
maka
Untuk atau aq – bp
Sistem persamaan linear dua variabel dapat diselesaikan dengan determinan.
Jika untuk maka :
di mana,
3.2 PENGAYAAN
3.2.1 Memahami Determinan Dari Suatu Matriks Persegi Ordo 3
Determinan dari matriks di bawah adalah :
maka
Jika dalam suatu permutasi (susunan) bilanan-bilanan yang lebih besar terletak di depan darri bilangan yang lebih kecil, maka permutasi itu disebut mempunyai invers. Hasil kali susunan bilangan-bilangan dalam determinan A bertanda negatif apabila permutasi dari bilangan mempunyai banyak inverse ganjil, dan bertanda positif apabila permutasi mempunyai banyak inverse nol atau genap.
Misalnya, permutasi dari 3 buah bilangan yaitu :
123, 132, 213, 231, 312, 321
· Inversi dari 123 adalah 0, maka tanda perkaliannya “+”.
· Inversi dari 132 adalah 1, yaitu 32, maka tanda perkaliannya “-“.
· Inversi dari 213 adalah 1, yaitu 21, maka tanda perkaliannya “-“
· Inversi dari 231 adalah 2, yaitu 21 dan 31; maka tanda perkaliannya “+”
· Inversi dari 312 adalah 2, yaitu 31 dan 32; maka tanda perkaliannya “+”
·
| Merupakan determinan dari matriks A ordo 3. Pekalian susunan bilangan-bilangannya disesuaikan dengan permutasi n= 3 unsur yaitu : |
e123, e132 , e213, e 231, e312, e321
Lambang e231 artinya perkalian anggota-angota pada baris pertama kolom ke-2; baris kedua kolom ke-3, dan baris ketiga kolom ke-1.
= e123 a11 a22 a23 + e132 a11 a23 a32 + e213 a12 a21 a33 + e 231 a12 a23 a31 + e312 a13 a 21 a32 + e321 a13 a22 a31
a11 a22 a23 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a12 a23 a31 - a13 a 21 a32 - a13 a22 a31
a11 (a22 a23 - a23 a32) - a12 (a21 a33 - a23 a31) - a13 (a 21 a32 - a22 a31)
= a11
| - |
| - |
| - |
| + |
| + |
| + |
| A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 + a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33
3.2.2 Minor dan Kofaktor
Jika dalam suatu determinan A elemen-elemen dari baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan, maka determinan yang tertinggal disebut minor dari determinan A dan dinyatakan dengan Mij . Kofaktor dari determinan A dinyatakan dengan aij di mana.
Misalkan:
Jika elemen-elemen pada baris pertama dan kolom pertama dihilangkan maka,minor bagi a11 ialah :
Dan kofaktor bagi a11 ialah:
Analog,
Sehingga nilai dari determinan A adalah :
3.2.3 Adjoint dari Suatu Matriks Persegi Ordo 3
Jika A = (aij) adalah suatu matriks persegi ordo 3 dengan elemen-elemen aij dan kofaktor aij makala didefinisikan adjoint A ialah:
Contoh :
Jika diketahui , .
Hitunglah adj A x A !
Jawab: adj A x A =
= = = -7 I
Jadi, adj A x A = -7 I
Berdasarkan contoh di atas, kita dapatkan hubungan sebagai berikut adj A x A = I atau A x adj A =
3.2.4 Invers Matriks Persegi Ordo 3
Jika A dan B adalah matriks persegi ordo 3, di mana berlaku sifat AB = I = BA, maka A-1 = B atau B-1 = A.
Dengan demikian AA-1 = I
Jadi,
3.2.5 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Secara umum system persamaan linier tiga fariabel dapat diselesaikan dengan detrminan.
Jika
maka
di mana
dan
Bab III
Penutup
3.1 Kesimpulan
Matriks pertama kali diperkenalkan oleh James Joseph Sylvester (1814 - 1897) pada tahun 1850 untuk menunjukkan susunan bilangan – bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang. Sebelum tahun 1858, Arthur Cayley menulis tentang transformasi linier yang menggambarkan bahwa matriks secara formal merupakan suatu cabang matematika.
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Bahkan di negara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel.
Matriks adalah sekelompok bilangan yang disusun berbentuk persegi panjang atau persegi. Anggota yang ditulis mendatar disebut baris dan yang ditulis menurun disebut jalur yang semua anggotanya terletak di dalam suatu tanda kurung.
3.2 Saran
Semua orang bisa menggunakan matriks dalam kehidupan sehari – hari untuk menyelesaikan suatu masalah yang telah dihadapi secara sistem matematika.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar