BAB I
UNSUR – UNSUR LINGKARAN
A. LINGKARAN DAN BAGIAN – BAGIANNYA
1. Pengertian Lingkaran
| |
| |
| |
| |
| |
| B |
| A |
| C |
| |
| O |
| |
| |
| D |
| |
| tembereng |
| busur |
| C |
| A |
| F |
| tali busur |
| juring |
| O |
| B |
| E |
| apotema |
| D |
Gambar 1.3
2. Bagian-bagian Lingkaran
Agar anda mudah memahami unsur-unsur lingkaran perhatikan gambar 1.3:
1. Titik O di sebut titik pusat lingkaran
2. disebut jari-jari lingkaran yaitu garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dan titik pada keliling lingkaran.
3. disebut garis tengah atau diameter, yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran dan melalui pusat lingkaran. Karena diameter = + , dimana jari-jari (r) lingkaran, sehingga diameter (d) = 2 x jari-jari (r) atau d = 2r.
4. disebut tali busur yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran.
5. ┴ tali busur dan ┴ tali busur disebut apotema, yaitu jarak terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.
6. Garis lengkung dan disebut busur lingkaran, bagian dari keliling lingkaran.
Busur terbagi menjadi dua yaitubusur besar dan busur kecil :
1. Busur kecil adalah busur AB yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran
2. Busur besar adalah busur AB yang lebih dari setengah keliling lingkaran
7. Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari, dan serta disebut juring atau sektor. Juring terbagi menjadi 2 yaitu, juring besar dan juring kecil.
8. Daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busurnya disebut termbereng. Tembereng juga dibagi menjadi 2, yaitu tembereng kecil dan tembereng besar.
Contoh Soal:
1. Sebutkanlah nama unsur-unsur lingkaran yang ditunjukkan oleh nomor 1,2,3,4,dan 5 pada gambar di bawah ini :
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| O |
Penyelesaian :
1 =Jari - jari
2 =Juring lingkaran
3 =Titik pusat lingkaran
4 =Tali busur
5 =Tembereng
B. KELILING DAN LUAS LINGKARAN
1. Menghitung keliling lingkaran
Karena , sehingga didapat k = π d.
Karena panjang diameter adalah 2 x jari-jari atau d = 2r, maka k = 2π r.
| K = π d atau K = 2 π r |
Contoh soal:
1. Hitunglah keliling lingkaran jika diketahui:
a. Diameter 21cm
b. Jari-jari 12cm
Penyelesaian :
a. d = 21cm sehingga K = π d = x 21 = 66 cm
jadi, keliling lingkaran adalah 66 cm
b. r = 12cm sehingga K = 2 π r = 2 x 3.14 x 12
jadi, keliling lingkaran adalah 75.36 cm
2. Menghitung luas lingkaran
Jika lingkaran dibagi menjadi juring-juring tak terhingga banyaknya, kemudian juring-juring tersebut di potong dan disusun maka hasilnya akan mendekati bangun persegi panjang. Bangun yang mendekati persegi panjang tersebut panjangnya sama dengan setengah keliling lingkaran.
(3.14 x 10 cm =31.4 cm) dan lebarnya sama dengan jari-jari lingkaran (10cm). Jadi , luas lingkaran dengan panjang jari-jari 10cm = luas persegi panjang dengan
p = 31.4 cm dan l = 10cm
= p x l
= 31.4 cm x 10 cm
= 314 cm
Dengan demikian, dapat kita katakan bahwa luas lingkaran dengan jari-jari r sama dengan luas persegi panjang dengan panjang π r dan lebar r, sehingga diperoleh
L = π r x r
L = π r2
Karena r = d , maka L = π d )2
= π x d2)
L = πd2
Jadi dapat diambil kesimpulan bahwa luas lingkaran L dengan jari-jari r atau diameter d adalah
| L= π r2 atau L= d2 |
Contoh soal :
1. Hitunglah luas lingkaran jika :
a. Jari – jarinya 49cm
b. Diameternya 28cm
Penyelesaian :
a. r =49cm
L= π r2
= x 492
= 7546 cm2
Jadi,luas lingkaran = 7546 cm2
b. d=28cm
L= d2
= x x 282
=616 cm2
Jadi, luas lingkaran = 616 cm2
3. Menghitung perubahan luas dan keliling jika jari-jari berubah
Apabila nilai r atau d kita ubah, maka besarnya keliling dan luasnya juga mengalami perubahan. Perhatikan uraian berikut :
Misalkan lingkaran berjari-jari r1,diperbesar sehingga jari-jarinya menjadi r2, dengan r2 > r1. Jika Luas lingkaran semula adalah L1 dan luas lingkaran setelah mengalami perubahan jari-jari L2 maka selisih luas kedua lingkaran adalah:
L2-L1 = r2 2 - r22
= (r22 – r12)
= (r2 – r1) (r2 + r1)
Jika keliling semula adalah K1 dan keliling setelah mengalami perubahan jari-jari adalah K2 maka selisih keliling kedua lingkaran adalah
K2 – K1 = 2 r2 - 2 r1
= 2 (r2 –r1)
Kalian juga dapat menghitung perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari – jari berubah.
Perbandingan luas kedua lingkaran sebagai berikut :
L1: L2 = r22: r12
= r22: r12
Adapun perbandingan kelilingnya adalah
K2: K1 = 2 r2: 2 r1
= r2: r1
Dari uraian di atas disimpulkan bahwa lingkaran berjari – jari r1, setelah mengalami perubahan jari –jari menjadi r2 dengan r1 > r2, maka selisih serta perbandingan luas dan kelilingnya sebagai berikut :
| L2-L1 = (r2 – r1) (r2 + r1) K2 – K1 = 2 (r2 –r1) L1: L2 = r22: r12 K2: K1 = r2: r1 |
Contoh soal :
1. Hitunglah selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran yang berjari – jari 6cm dan 12cm
Penyelesaian :
Lingkaran berjari – jari 6cm, maka r1=6
Lingkaran berjari – jari 12cm, maka r2=12
· Selisih luas = L2 – L1
= (r2 –r1)(r2 +r1)
= (12 – 6)(12 + 6)
= x 6 x 18
=108 cm2
· Selisih keliling =K2 – K1
=2 (r2 – r1)
=2
=12 cm
· Perbandingan luas =L2 : L1
=r22 : r12
=144 : 36
=4 : 1
· Perbandingan keliling =K2 : K1
=r2 : r1
=12 : 6
=2 : 1
C. HUBUNGAN ANTARA SUDUT PUSAT,PANJANG BUSUR, DAN LUAS JURING
1. Hubungan sudut pusat,panjang busur, dan garis lingkaran
Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari – jari yang berpotongan pada pusat lingkaran.
| O |
| B |
| A |
Untuk menentukan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan garis lingkaran maka perhatikan di bawah ini :
= =
| Panjang busur dan luas juring suatu lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut pusatnya. |
Sekarang perhatikan gambar 1.4. Dari gambar tersebut diperoleh:
=
Sekarang, misalkan ÐCOD = satu putaran penuh = 3600 maka keliling lingkaran = 2 , dan Luas lingkaran = 2, dengan r jari – jari, sehingga dapat diperoleh :
=
Dengan demikian, diperoleh rumus panjang busur AB, luas juring AB dan luas tembereng AB adalah:
| Panjang busur AB = × 2 Luas juring OAB = × 2 Luas tembereng AB = luas juring AOB – luas AOB |
Contoh soal :
Perhatikan gambar di bawah ini :
Diketahui panjang jari – jari OA = 14cm. Jika besar AOB = 90 , hitunglah :
a.
| A |
b. Luas juring OAB
c.
| B |
| O |
Penyelesaian :
Panjang = × 2
= × 2 ×14
= 22 cm
Luas juring OAB = × 2
= × ×14 2
= 154 cm2
Karena besar ÐAOB = 600, maka AOB sama sisi = panjang sisi 14 cm, sehingga :
s = × keliling segitiga
= (a + b + c)
= (14 + 14 + 14)
= 21 cm
Luas AOB =
=
=
=
=84,87cm2
Luas tembereng AB =luas juring OAB – luas AOB
=(154 – 84,87)
=69,13cm2
2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring
Untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan materi tersebut. Pelajari contoh berikut ini :
Contoh soal :
1. Pada gambar di samping, diketahui panjang busur PQ = 20 cm, panjang busur QR= 28 cm, dan besar Ð POQ =45
a.
| Q |
| R |
b. Hitunglah panjang jari – jari OP
c.
| O |
| P |
Penyelesaian:
a. Didepan telah kita pelajari hubungan antara sudut pusat dan pan
jang busur berikut:
jang busur berikut:
= , sehingga diperoleh :
=
« =
« x = = 42
Jadi besar
b. Panjang × 2
× 2 × r
Jadi, panjang jari-jari OP = 77 cm
c. Luas Juring
=
Luar Juring OQR =
=
= 159.574,8 cm
D. SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING LINGKARAN
1.
| A |
| B |
| C |
| O |
sudut pusat dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran yang berpotongan di titik pusatnya. Adapun sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di satu titik pada keliling lingkaran.
Pada Gambar di samping, OA dan OB berpotongan di O membentuk sudut pusat, yaitu ÐAOB. Adapun tali busur AC dan CB berpotongan di titik C membentuk sudut keliling ÐACB
Sudut pusat ÐAOB dan sudut keliling ÐACB menghadap busur yang sama, yaitu . Sekarang, kita akan mempelajari hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
Perhatikan Gambar
Lingkaran di samping berpusat di titik O dan mempunyai jari-jari
OA = OB = OC = OD = r.
Misalkan ÐAOC = α dan ÐCOB = b, maka ÐAOB = α+ b
Perhatikan D BOD.
ÐBOD pelurus bagi ÐBOC, sehingga ÐBOD = 180° – b.
ÐBOD segitiga sama kaki, karena OB = OD = r, sehingga
ÐODB = ÐOBD =
Karena Ð BOD = 180° – b, maka diperoleh
ÐODB = ÐOBD=
Sekarang perhatikan D AOD.
ÐAOD pelurus bagi ÐAOC, sehingga ÐAOD = 180° – α.
D AOD adalah segitiga sama kaki, karena OA = OD = r, sehingga
Ð ODA = ÐOAD =
| Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat = 2 ´ besar sudut keliling. |
Contoh Soal :
pada lingkaran disamping,
jika Ð ACO = 25 ° dan
Ð BCO = 15 °. Hitung besar ÐAOB
Penyelesaian :
Diketahui : ACO = 25 ° dan Ð BCO = 15°
Ditanya : Ð ADB = …… ?
Jawab :
Ð ACB merupakan sudut keliling dan Ð AOB merupakan sudut pusat , sehingga diperoleh :
Sudut keliling ACB = Ð ACO + ÐBCO
= 25° + 15°
= 40 °
Sudut Pusat AOB = 2 ´ sudut keliling ACB
= 2 ´ 40°
= 80°
2. Besar Sudut Keliling yang menghadap Diameter yang sama
Sudut pusat AOB menghadap busur AB. Perhatikan bahwa sudut keliling ACB dan sudut keliling ADB menghadap busur AB, sehingga diperoleh :
Atau
| Besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya 900 (sudut siku – siku ). |
Contoh Soal :
Diketahui ABC = 550 dengan diameter lingkaran. Hitunglah besar CAB.
Penyelesaian:
Diket : Ruas garis AB adalah diameter lingkaran.
Karena ABC adalah susut keliling yang menghadap diameter AB,
maka besar ABC = 900
∆ BCO adalah segitiga sama kaki, karena OB = OC = r,
sehingga BCO = CBO = 550.
Ditanya : CAB = …?
Jawab : ACO = ACB - BCO
= 900 - 550
= 350
Karena ∆ AOC sama kaki (OA = OC = r), maka CAO = ACO = 350
3. Sudut-Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama
Pada gambar tersebut AOB adalah sudut pusat yang menghadap = α , sedangkan ACB, ADB, dan AEB adalah sudut keliling yang menghadap .
Besar ACB = ADB = AEB
Jadi, dapat disimpulkan bahwa:
Besar sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar atau x sudut pusatnya
Contoh Soal :
Diketahui besar BAC =400 dan CED = 700
Hitunglah besar BDC, ACD, dan ABD.
Penyelesaian:
Diket :
BAC dan BDC sudut keliling menghadap busur yang sama yaitu BC, sehingga besar BDC = BAC = 400
ACD = 180° – ( CED + CDE)
= 180° – ( CED + CDB)
=180°
E. SEGI EMPAT TALI BUSUR (PENGAYAAN)
1. Pengertian Segi Empat Tali Busur
Segi empat tali busur adalah segi empat yang titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran.
Agar dapat memahami mengenai segi empat tali busur, perhatikan gambar. Pada gambar tersebut titik O adalah titik pusat lingkaran dan titik A, B, C, serta D terletak pada keliling lingkaran tersebut. Ruas garis AB, BC, CD, dan AD adalah tali-tali busur lingkaran. Tali-tali busur tersebut membentuk segi empat ABCD, dan selanjutnya disebut segi empat tali busur.
| Segi empat tali busur adalah segi empat yang titik – titik sudutnya terletak pada lingkaran |
2. Sifat – Sifat Segi Empat Tali Busur
Perhatikan Gambar :
Pada gambar tersebut tampak bahwa sudut-sudut yang berhadapan dengan segi empat tali busur ABCD adalah ÐABC dengan Ð ADC dan ÐBAD dengan ÐBCD.
Dengan demikian diperoleh
Sekarang, perhatikan sudut keliling ÐBAD dan ÐBCD
Dengan demikian, diperoleh
Jadi, dan
| Jumlah dua sudut yang saling berhadapan pada segi empat tali busur adalah 180° |
Selanjutnya, perhatikan gambar…..
Pada gambar disamping adalah diameter lingkaran sekaligus diagonal segi empat PQRS,karena ÐQPS dan ÐQRS adalah sudut keliling, maka besarÐ QPS = ÐQRS = 900. Segi empat PQRS selanjutnya disebut segi empat tali busur siku-siku.
| Segi empat tali busur siku-siku adalah segi empat tali busur yang salah satu diagonalnya merupakan diameter lingkaran. |
Perhatikan gambar :
Pada gambar tersebut, dan adalah diameter lingkaran dan adalah sudut keliling yang menghadap diameter , sedangkan dan adalah sudut keliling yang menghadap diameter .
| Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya merupakan diameter lingkaran akan membentuk bangun persegi panjang. |
Jika kedua diagonal segi empat tali busur merupakan diameter lingkaran dan saling berpotongan tegak lurus, maka bangun apakah yang akan terbentuk?
Perhatikan gambar :
Pada gambar di samping dan adalah diameter lingkaran dengan . Karena ÐABC, ÐBCD, ÐCDA, dan ÐDAB adalah sudut-sudut keliling yang menghadap diameter besar ÐABC = ÐBCD = ÐCDA = ÐDAB = 90°
Sekarang, perhatikan ∆ BOC kita putar sejauh 90° berlawanan arah putaran jarum jam dengan titik O sebagai titik putar maka diperoleh
dan
Dengan demikian atau
| Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya merupakan diameter lingkaran yang saling berpotongan tegak lurus akan membentuk bangun persegi. |
F. SUDUT ANTARA DUA TALI BUSUR (PENGAYAAN)
Dua tali busur dari sebuah lingkaran dapat berpotongan di dalam maupun diluar lingkaran pada perpanjangn tali busur.
Pada gambar (a), tali busur dan berpotongan di dalam lingkaran, sedangkan Gambar (b) menunjukkan tali busur dan berpotongan pada perpanjangan kedua tali busur itu di luar lingkaran.
1. Sudut Antara Dua Tali Busur Jika Berpotongan Di Dalam Lingkaran
Perhatikan Gambar Lingkaran dengan pusat di titik O dengan titik E adalah titik potong antara tali busur dan . Dari gambar tersebut tampak bahwa ÐAEB, ÐBEC, ÐCED, dan ÐAED adalah sudut di dalam lingkaran yang dibentuk oleh perpotongan antara tali busur tali busur dan .
Dari gambar tersebut diperoleh
a. ÐBDC adalah sudut keliling yang menghadap busur BC, sehingga
b. ÐACD adalah sudut keliliing yang menghadap busur AD, sehingga
Perhatikan bahwa ÐBEC adalah sudut luar ∆ CDE, sehingga
Dengan cara di atas, maka diperoleh
| Kesimpulan : Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan setengah dari jumlah sudut-sudut pusat yang menghadap busur diapit oleh kaki-kaki sudut itu. |
Contoh Soal :
Pada gambar disamping, diketahui besar Ð POQ = 50 ° dan besar ÐROS = 120 ° . Tentukan besar Ð PTQ.
Penyelesaian:
2. Sudut Antara Dua Tali Busur yang berpotongan Di Luar Lingkaran.
Perhatikan Gambar :
Titik O adalah titik pusat lingkaran sedangkan dan adalah dua tali yang jika diperpanjang akan berpotongan di titik P, dimana titik P di luar lingkaran, sehingga terbentuk .
Perhatikan bahwa adalah sudut keliling yang menghadap busur KN, sehingga :
Sudut MKL adalah sudut keliling yang menghadap busur LM, sehingga :
Ð MKL = x Ð MOL
Sudut MKL adalah sudut luar ∆ KPM, sehingga berlaku :
atau
| Kesimpulan: Besar sudut antar dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran sama dengan setengah dari selisih sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kakisudut itu. |
Contoh Soal :
Diketahui besar
Dan besar .
Tentukan besar .
Penyelesaian:
BAB II
GARIS SINGGUNG LINGKARAN
- Pengertian Garis Singgung Lingkaran
Lingkaran pusat di O dengan diameter AB tegak lurus dengan diameter CD (garis k). Jika garis k di geser ke kanan sedikit demi sedikit sejajar k, maka:
- Pada posisi k1, memotong lingkaran didua titik (titik E dan F) dengan k1 ┴ OB
- Pada posisi k2, memotong lingkaran di dua titik (titik G dan H) dengan k2 ┴ OB
- Pada posisi k3, memotong lingkaran di satu titik yaitu B (menyinggung lingkaran di B)
Garis k3 disebut Garis Singgung Lingkaran, sedangkan B disebut Titik Singgung
| Maka dapat disimpulkan bahwa Garis Singgung Lingkaran adalah Garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya. |
2 Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran dari satu titik di luar Lingkaran
Lingkaran berpusat pada titik O dengan jari-jari OB dan OB ┴ garis AB. Garis AB adalah garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran.
Dengan teorema phytagoras berlaku :
OB2 + AB2 = OA2
AB2 = OA2 – OB2
AB =
| Panjang garis singgung lingkaran (AB) = |
Contoh Soal :
- Diketahui lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB = 6 cm. Garis AB adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran. Jika jarak OA = 12 cm, maka:
a. Gambarlah sketsanya
b Tentukan panjang singgung AB
Penyelesaian :
Diket : OB = 6 cm, OA = 12 cm
Ditanya: a. sketsanya = …?
b. AB = …?
Jawab :
AB
- Layang-layang Garis singgung
PA dan PB adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O. OAP = OBP dan AB = BP dengan garis AB merupakan tali busur :
1. Pada ∆ OAB, OA = OB = jari-jari sehingga ∆ OAB adalah segitiga sama kaki
2. Pada ∆ ABP, PA = PB = garis singgung, sehingga ∆ ABP adalah segitiga sama kaki
Dengan demikian, segiempat OAPB terbentuk dari ∆ sama kaki OAB dan ∆ sama kaki APB dengan alas AB yang saling berhimpit, maka segiempat OAPB merupakan layang-layang. Karena layang-layang OAPB terdiri dari jari-jari lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka segiempat OAPB disebut layang-layang garis singgung.
Jadi, Garis Singgung Layang-layang adalah layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut.
Contoh Soal :
- Dari titik P di Luar lingkaran yang berpusat dititik O dibuat garis singgung PA dan PB. Jika panjang OA = 5 cm dan OP = 15 cm. Hitunglah :
a. Panjang AP
b. Luas ∆ OAP
c. Luas layang-layang OAPB
d. Panjang tali busur AB
Penyelesaian :
Diket : OA = 5 cm, OP = 15 cm
Ditanya : a. AP = …?
b. Luas ∆ OAP = …?
c. Luas layang-layang OAPB = …?
d. AB = …?
Jawab : a. AP =
b. Luas ∆ OAP = x OA x OP
= x 5 x 15
= 37.5 cm
c. Luas layang-layang OAPB = 2 x L. ∆ OAP
= 2 x 37.5
= 75 cm2
d. Luas layang-layang OAPB = x OP x OB
75 = x 15 x OB
OB = = 10 cm
- Garis Singgung Persekutuan
Garis Singgung Persekutuan adalah Garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. Garis Singgung Persekutuan dibedakan menjadi 2, yaitu:
A. Garis Singgung Persekutuan Dalam
- Jari-jari yang berpusat di P = R,
- Jari-jari yang berpusat di Q = r,
- Panjang garis singgung persekutuan adalah AB = d,
- Jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ = p,
- Jika garis AB di geser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis SQ
- Garis SQ sejajar AB, sehingga PSQ = PAB = 900 (sehadap)
1. Perhatikan segiempat ABQS
Garis AB // SQ dan PSQ = PAB = 900
Jadi segiempat ABQS merupakan persegi panjang dengan panjang AB = d dan lebar BQ = r
2. Perhatikan bahwa ∆ PQS siku-siku di titik S, dengan menggunakan teorema Phytagoras di peroleh :
Karena panjang QS = AB, maka
Contoh Soal :
1. Diketahui panjang jari-jari MA = 7cm. Panjang jari-jari NB = 3 cm dan panjang MN = 20 cm. Hitunglah panjang garis singgung dalamnya!
Penyelesaian:
Diket : MA = 7 cm, NB = 3 cm dan MN = 20 cm. Garis singgung persekutuan dalamnya adalah AB
Ditanya : AB = …?
Jawab :
AB =
B. Garis Singgung Persekutuan Luar
- Jari-jari lingkaran yang berpusat di P = R,
- Jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r,
- Panjang garis singgung persekutuan luar adalah AB = d
- Jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ = p
- Jika garis AB kita geser sejajar kebawah sejauh BQ maka dioperoleh garis SQ
- GAris AB sejajar SQ sehingga PSQ = PAB = 900
1. Perhatikan segiempat ABQS :
Garis AB // SQ, AS// Bq dan PSQ = PAB = 900
∆ PQS siku-siku di S, sehingga berlaku :
Karena QS = AB = d, maka d =
Contoh Soal:
- Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm.
Jarak kedua pusat lingkaran tersebut 13cm. Jika panjang salah satu lingkaran ( r ) = 7 cm.Hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain!
Penyelesaian:
Diket: d = 20 cm
p = 12 cm
r = 7 cm
Ditanya: R = …?
Jawab :
d =
13 =
132 = 122 – (R-7)2
169 = 144 – (R-7)2
(R–7)2 = 25
R – 7 =
R = 5 + 7 = 12 cm
BAB III
PERSAMAAN LINGKARAN
Suatu bangun geometri disebut lingkaran apabila untuk setiap titik pada bidang datar mempunyai jarak yang tetap dari suatu titik tetap.
Gambar 3.1 adalah contoh lingkaran dengan titik pusat A(2, 3)dan jari – jari r =5.
Jika P (x, y) merupakan himpunan titik – titik yang berjarak tetap dari pusat A maka dengan rumus jarak dua titik :
| d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 |
Diperoleh himpunan pasangan (x, y)sebagai berikut :
L = { (x , y) |(x – 2 )2 + (y – 3)2 =52 }
= { (x , y) |(x – 2 )2 + (y – 3)2 =25 }, atau
L = {(x , y) | x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0}
Dapat disimpulkan bahwa persamaan lingkaran pada gambar 3.1 di atas adalah :
| (x2 – 2)2 + (y – 3)2 =25 Atau X2 + y2 – 4x – 6y – 12 =0 |
| (x – a)2 + (y – b)2 = r2 |
| ...1 |
Titik P(x, y) terletak pada keliling lingkaran jika dan hanya jika berlaku :
L = {(x, y) | |CP| = r}
L = {(x, y) | (x – a)2 + (y – b)2 = r2 …2
Bentuk persamaan 2 mempunyai hubungan sama dengan persamaan 1 yang hanya dipenuhi oleh titik – titik (x, y) pada keliling lingkaran.
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) dengan jari – jari r adalah :
| (x – a)2 + (y –b)2 = r2 |
Jika pusat lingkaran di titik pangkal (0,0) dengan jari – jari r seperti ditunjukkan pada gambar 3.3 maka :
a = b = 0
sehingga, (x – a)2 + (y –b)2 = r2
« (x – 0)2 + (y –0)2 = r2
x2 + y2 = r2
| x2 + y2 = r2 |
Contoh soal :
1. Tulislah persamaan lingkaran dengan pusat di (1,2) dan jari – jari r =4
Penyelesaian :
(x – a)2 + (y –b)2 = r2
(x – 1)2 + (y –2)2 = 42
(x – 1)2 + (y –2)2 = 16
Jadi, persamaan lingkaran yang di maksud adalah (x – 1)2 + (y –2)2 = 16
3.2 BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN
| … 1 |
(x – 3)2 + (y –2)2= 52
x2 – 6x + 9 +y2 +4y +4 =25
| ... 2 |
x2 + y2 – 6x +4y – 12 = 0
Bentuk 2 dan 1 mempunyai bentuk yang sama, maka x2 + y2 – 6x +4y – 12 = 0 adalah persamaan lingkara yang berpusat di titik (3, -2) dan jari –jari r = 5.
| … 3 |
| L = { (x, y) | x2 + y2 +2Ax + 2By + C = 0} |
Dengan metode melengkapi kuadrat dalam bentuk ( 3), diperoleh :
L = { (x, y) | x2 + 2Ax + y2 + 2By = -C}
L = { (x, y) | (x + A)2 + (y +B)2 =A2 + B2 - C}
Jika, A2 + B2 – C bilangan positif, maka grafik dari L ialah lingkaran dengan :
Titik pusat ( -A, -B ) dan jari – jari r = ÖA2 + B2 – C
Contoh:
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan
| X |
| Y |
| r = 4 |
| 4 |
| -5 |
| 1 |
| (-5 , 4) |
Jawab :
dan C = -8
Pusat (-A,-B) Û (-5,4)
Jari-jari r =
Jari-jari r = 7
3.3 KUASA TITIK TERHADAP LINGKARAN
Dengan memperhatikan persamaan lingkaran maka titik-titik koordinatnya memenuhi persamaan tersebut menunjukkan himpunan titik-titik yang terletak pada lingkaran. Himpunan titik-titik yang terletak di dalam dan di luar lingkaran secara umum dapat dituliskan dalam himpunan berikut.
· Þ menyatakan himpunan titik-titik yang terletak pada lingkaran L
· Þ menyatakan himpunan titik-titik yang terletak di dalam lingkaran L
· Þ menyatakan himpunan titik-titik yang terletak di luar lingkaran L
Contoh :
Diketahui lingkaran L dengan persamaan: (x-2)2 + (y+5)2 = 40
Selidikilah letak titik-berikut terhadap lingkaran L.
a. A(2,5) c. C(0,-4) e. E(-1,2)
b. B(-4,-3) d. D(8,-7) f. F(6,-2)
Jawab:
Untuk menyelidiki letak titik tersebut terhadap lingkaran, kita substitusikan pasangan bilangan (x1, y1) tersebut ke dalam persamaan lingkaran (x - 2) + (y + 5)2 = 40
a. (2 - 2)2 + (y + 5)2 = 40
Titik A(2,5) terletak di luar lingkaran L.
b. (-4 - 2)2 + (-3 + 5) = (-6)2 + 22 = 40
Titik B(-4,-3) terletak pada lingkaran L
c. (0 - 2)2 + (-4 + 5)2 = (-2)2 + 12 = 5 < 40
Titik C(0,-4) terletak di dalam lingkaran L
d. (8 - 2)2 + (-7 + 5)2 = 36 + 4 = 40
Titik D(8, -7) pada lingkaran
e. (-1 - 2)2 + (2+5)2 = 9 + 49 > 40
Titik E(-1, 2) di luar lingkaran.
f. (6 - 2)2 + (-2 + 5)2 = 16 + 9 < 40
Tititk F(6,-2) di dalam lingkaran.
3.4 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
- Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran
Misalkan titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran x2 + t2 = r2. Gradien garis OP adalah . Dengan demikian, persamaan garis yang melalui titik P dan bergradien adalah
y – y1= (x – x1)
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan berjari-jari r yang melalui titik (x1, y1) pada lingkaran adalah
| x1x + y1y = r2 |
- Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m
Sebuah garis yang mempunyai gradient m dan melalui titik (0, c) dinyatakan dengan rumus y = mx + c. Jika garis tersebut menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 maka nilai c dapat diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Subtitusikan y = mx + c ke dalam persamaan
Persamaan kuadrat dalam x akan mempunyai satu akar real jika diskriminannya sama dengan nol.
(2mc)2 – 4(1 + m2)(c2 – r2) = 0
4m2c2 – 4(c2 – m2c2 – r2 – m2r2) = 0
4m2c2 – 4c2 – 4m2c2 + 4r2 + 4m2r2 = 0
-4c2 + 4r2 + 4m2r2 = 0
4c2 = 4r2 + 4m2r2
c2 = r2 + m2r2
c = ± r Öm2 + 1
jadi, persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2 yang bergradien m adalah :
| y = mx± r Öm2 + 1 |
Persamaan garis singgung dengan gradient m pada lingkaran :
| (x – h)2 + (y – k)2 = r2 adalah y – k = m (x – h)± rÖm2 + 1 |
Persamaan garis singgung dengan gradient m pada lingkaran :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
| y + ½ B = m (x + ½ A) + rÖm2 + 1 |
- Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran
Untuk menentukan garis singgung lingkaran melalui titik (x1,y1) di luar lingkaran, tidak terdapat rumus yang baku. Untuk menentukannya dapat digunakan rumus garis polar.
Pada gambar di atas
L x2 + y2 = r2
P(x1,y1) di luar L
Garis singgung di:
A( xA,yA) xAx + yAy = r2 … 1
B(xB,yB) xBx + yBy = r2 … 2
Sehingga persamaan garis:
1. AP xAx1 + yAy1 = r2 … 3
2. BP xBx1 + yBy1 = r2 … 4
(xA – xB)x1 + (yA –yB)y1 = 0
ó = … 5
Gradien garis AB adalah mAB = … 6
Dari persamaan 5 dan 6:
mAB =
Persaman garis AB (garis polar) adalah y – y1 = mAB (x - xA)
ó y – yA = ( x - xA)
ó y1y – y1yA = -x1x + x1xA
ó x1x + y1y = x1xA + y1yA … 7
Dari persamaan 3 dan 7 :
| x1x + y1y = r2 |
adalah persamaan (garis polar) lingkaran x2 + y2 = r2 dan titik (x1, y1) di luar lingkaran.
Persamaan garis polar dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran.
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaram x2 + y2 = 13
Melalui titik P (5,1)
Jawab:
L x2 + y2 = r2 … 1
Substitusikan P(5,1) ke persamaan garis polar AB berikut:
Persamaan garis polar AB = x1x + y1y = r2
ó 5x + y = 13
ó y = 13 – 5x … 2
Dari persamaan 1 dan 2 :
x2 + ( 13 – 15x) 2 = 13
ó 2 6x2 – 130x +156 = 0
ó x2 – 5x + 6 = 0
ó (x - 2)(x - 3) = 0
ó x = 2 V x = 3
Untuk x = 2; diperoleh y = 13 - 5x = 3
maka koordinat A(2,3)
Untuk x = 3; diperoleh y = 13 - 5x = -2
maka koordinat B (3,-2)
Titik-titik A dan B masing-masing adalah titik singgung lingkaran, maka persamaan garis singgung melalui:
(i) P (5,1) dan A (2,3) adalah 2x + 3y = 13
(ii) P (5,1) dan A(3, -2) adalah 3x – 2y =13
3.5 TALI BUSUR SEKUTU
Garis AB pada gambar berikut adalah tali busur sekutu lingkaran L1 dan L2. AB tegak lurus PQ
Jika: L1 x2 + y2 + 2ax + 2by + 2c = 0
L2 x2 + y2 + 2px + 2qy + 2r = 0
maka:
persamaan tali busur sekutu AB adalah: L1-L2 = 0
| (a - p)x + (b – q)y + (c - r) = 0 |
Persamaan lingkaran yang melalui titik A dan B dapat dinyatakan sebagai:
| L1 L1 + pL2 = 0 |
Atau
| L3 L1 + p(L1 – L2) = 0 |
p adalah parameter.
Contoh :
Diketahui: L1 x2 + y2 + 2x + 6y – 26 = 0
L2 x2 + y2 – 4x – 12 = 0
L1 –L2 6x + 6y – 14 ó 3x + 3y – 7 = 0
Sehingga, persamaan garis AB dapat dinyatakan sebagai 3x + 3y – 7 = 0
L1 L1 + p(L1 – L2)=0
ó x2 + y2 +2x + 6y – 26 + p ( 3x – 7) = 0
L3 melalui (0,0)
ó - 26 + p(-7) = 0
p =
Jadi, persamaan L3 adalah:
7x2 + 7y2 – 64x – 36y = 0
Tidak ada komentar:
Posting Komentar