BAB II
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada pelajaran Fisika kita sering mendengar tentang istilah “Vektor”,namun dalam Matemetika khususnya Kelas III SMA siswa akan menemui pelajaran tentang “Vektor”. Tidak jauh beda tentang pengertian Vektor didalam Fisika, vektor pada Matematika mempunyai besara dan arah. Kuantitas – kuantitas fisik seperti luas, panjang, massa, dan suhu telah terdefinisi dengan lengkap apabila besar kuantitasnya diberikan. Kuantitas – kuantitas semacam ini disebut skalar ( scalar). Kuantitas fisik lainnya belumlah terdefinisi dengan lengkap apabila besar dan arahnya belum ditentukan. Kuantitas – kuantitas semacam ini disebut vektor (vector). Sebagai contoh, pergerakan angin biasanya digambarkan dengan memberikan kecepatan dan arah, misalnya 20 mil per jam timur laut. Kecepatan angin dan arah angin membentuk vektor yang disebut kecepatan(velocity) angin. Contoh lain vektor adalah gaya (force) dan pergeseran (displacement). Pada makalah ini penyusun akan membahas tentang teori dasar vektor pada ruang 2 dimensi dan 3 dimensi.
1.2 Batasan Masalah
Dalam makalah yang berjudul “Vektor” penyusun membuat batasan atas hal – hal yang dianalisis, meliputi Konsep Dasar Vektor, Macam –macam Vektor,Notasi,Ruang dan Visualisasi Vektor,Operasi Dasar Vektor, agar permasalahan tidak terlalu melebar.
1.3 Rumusan Masalah
Adapun Rumusan masalah sebagai berikut:
1) Apakah Vektor itu?
2) Bagaimanakah Notasi dan Notasi Penulisan Vektor?
3) Apa yang dimaksud dengan Vektor di ?
4) Bagaimanakah Operasi Vektor itu?
5) Apakah yang dimaksud dengan Vektor Posisi?
6) Apa yang dimaksud dengan Vektor di ?
1.4 Tujuan
Penyusun mempunyai beberapa tujuan dalam penyusunan makalah ini diantara nya sebagai berikut:
1) Untuk memenuhi tugas mata kuliah Telaah
2) Untuk memberikan informasi tentang Vektor
3) Untuk memmberikan gamabaran bagaiamanakah mengilustrasikan gambar Vektor
1.5 Manfaat
Dalam penyusunan makalah yang berjudul Vektor penyusun berharap dapat memberikan manfaat bagi para pembaca makalah ini,adapun manfaat penyusunan makalah ini sebagai berikut:
1.5.1 Bagi Penyusun
Dapat mengolah informasi yang lebih mendalam tentang Vektor sehingga mampu memberikan penyajian yang baik kepada para pembaca.
1.5.2 Bagi Pembaca
Dapat mengetahui tentang Vektor serta ilustrasinya.
1.6 Metode Pengumpulan Data
Ada berbagai macam cara yang digunakan penyusun untuk mengumpulkan data sebagai panduan dalam penyusunan makalah ini. Diantaranya melalui proses studi pustaka dan diskusi.
Pangumpulan data melalui studi pustaka dilakukan dengan mencari informasi dari buku – buku yang berkaitan dengan Vektor untuk dikaji serta diambil suatu ringkasan teori yang kemudian digunakan untuk menyusun makalah. Diskusi dilakukan oleh seluruh anggota kelompok untuk memberikan ide – ide yang digunkann untuk menyelesaikan penyusuna makalah ini.
BAB III
PEMBAHASAN
VEKTOR
Vektor dapat dinyatakan secara geometrik sebagai ruas garis terarah atau anak panah pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3. Secara umum vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Dalam pengidentifikasian gambar 1.a adalah bentuk besaran dan arah dari vektor
| Arah anak panah menunjukkan arah vektor, sementara panjang anak panah menggambarkan besarannya. Ekor anak panah disebut titik awal (initial point) dari vektor, dan ujung anak panah adalah titik akhir (terminal point). |
u
A
Vektor-vektor dengan ukuran yang sama,sebagaiman yang terlihat pada gambar 1.b disebut ekuivalen. Karena menginginkan suatu vektor ditentukan oleh panjang dan arahnya,vektor-vektor ekuivalen dinyatakan setara (equel) meskipun terletak pada posisi yang berbeda-beda. Jika u dan v ekuivalen maka dapat ditulis
u = v
gambar1.b Vektor-vektor yang ekuivalen
Notasi Vektor
Secara simbolis, vektor dinyatakan dengan huruf latin, misalnya , u , u (huruf yang ditebalkan), atau u (huruf yang dimiringkan). Jika u menyatakan ruas garis searah dari A ke B, maka dapat ditulis dengan lambang u =
Panjang (besar dan arah) vektor u dinyatakan dengan dan vektor AB dinyatakan dengan .
u = ( mewakili u)
u dibaca “vektor u”
dibaca “vektor AB”
Notasi Penulisan Vektor
Didalam vektor selain terdapat notasi terdapat pula notasi penulisan vektro. Untuk penulisan itu sendiri terbagi menjadi tiga macam yaitu:
1) Bentuk vektor kolom
2) Bentuk vektor baris
3) Vektor sebagai kombinasi vektor satuan dengan notasi i,j dan k
a = 3i + 4j
VEKTOR DI
Vektor di adalah vektor yang terletak di satu bidang atau vektor yang mempunyai dua komponen yaitu x dan y.
| a |
Y
| x |
| P |
| i |
OA =xi + yj atau a = xi + yj
i vektor satuan searah
sumbu X
j vektor satuan searah
sumbu Y
OPERASI VEKTOR
i. Operasi penjumlahan Vektor
| Definisi : Jika u dan v adalah dua vektor sebarang, maka jumlah (sum) u + v adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut: Tempatkan vektor v sedemikian rupa sehingga titik awalnya yang berhimpitan dengan titik akhir u. Vektor u + v diwakili oleh anak panah dari titik awal u hingga titik akhir v (Gambar 2.1a) |
v
u u+v
Gambar 2.1a
· Penjumlahan Vektor menurut aturan Segitiga dan jajaran genjang
v w = u + v w=u+v
v v v
u u u
(a) (b) (c)
Pada gambar (a),(b),(c) merupakan proses yang menggambarkan dua penjumlahan vektor,pada gambar (a) merupakan vektor anak panah u dan v sedangkan untuk gambar (b) merupakan penjumlahan dua vektor sehingga terbentuk vektor dengan aturan segitiga yakni w = u +v. Jumlah tersebut berhimpit dengan diagonal paralelogram (jajaran genjang) yang terlihat pada gambar (c) yang terbentuk oleh u dan v jika kedua vektor ini ditempatkan sedemikian rupa sehingga keduanya memilliki titik awal yang sama.
· Penjumlahan Vektor Menggunakan Bentuk Pasangan Bilangan
Jika u = dan v = , maka u + v = + =
ii. Elemen Identitas dan Invers Aditif
Vektor dengan panjang nol disebut vektor nol (zero vector) dan dinyatakan sebagai 0 definisinya adalah 0 + v = v +0 = v
| Bentuk negatif dari v memiliki panjang yang sama dengan v, tetapi arahnya berlawanan. |
Untuk setiap vektor v. Karena vektor nol secara alami tidak memiliki arah, kita sepakat bahwa vektor nol dapat memiliki arah sebarang, sehingga penyelesaian masalah yang sedang ditinjau menjadi lebih mudah. Jika v adalah sebarang vektor bukan vektor nol, maka -v adalah bentuk negatif dari v dan didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan v,tetapi memiliki arah yang ber lawanan (Gambar 2.2). Vektor ini memiliki sifat
v + (-v) = 0
iii. Operasi Pengurangan Vektor
| Definisi Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka selisih (difference) w dari v didefinisikan sebagai v – w = v + (-w) (Gambar 2.3a) |
v
v - w Gambar 2.3a
-w w
| Untuk mendapatkan selisih v – w tanpa perlu menggambar – w, tempatkan v dan w sedemikian rupa sehingga titik-titik awalnya berhimpitan. Vektor dari titik akhir w ke titik akhir v adalah v – w (Gambar 2.3b) |
W
Gambar 2.3b
· Pengurangan Vektor Menggunakan Bentuk Pasangan Bilangan
Jika u = dan v = , maka u – v = u + (-v) = =
iv. Operasi Perkalian Vektor dengan Skalar
| Definisi Jika v adalah vektor taknol dan k adalah bilangan real (skalar) taknol, maka hasilkali (product) kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya kali panjang v dan arahnya sama dengan v jika k > 0 dan arah berlawanan dengan v jika k < 0. Definisinya kv = 0 jika k = 0 atau v = 0 |
| Gambar 2.4 mengilustrasikan hubungan antara vektor v dan vektor – vektor v,(-1)v,2v,dan (-3). Vektor (-1)v memiliki panjang yang sama dengan v tetapi arahnya berlawanan. Jadi, (-1)v adalah bentuk negatif dari v; yaitu (-1) v = -v |
v v (-1)
2v (-3)v
Gambar 2.4
Vektor berbentuk kv disebut sebagai kelipatan skalar (scalar multiple) dari v. Sebagaimana ditunjukkan oleh Gambar 2.4, vektor-vektor yang merupakan kelipatan skalar satu sama lain adalah sejajar. Sebaliknya,dapat ditunjukkan bahwa vektor-vektor sejajar taknol merupakan kelipatan skalar satu sama lain.
Jika m { bilangan real } dan u = , maka mu = m =
Vektor dalam Sistem Koordinat
| Misalkan v adalah vektor sebarang pada suatu bidang dan asumsikan,sebagaimana tampak pada gambar 2.5,bahwa v ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya berhimpitan dengan titik asal sistem koordinat siku-siku. Koordinat ( , ) dari titik akhir v disebut komponen v, dan ditulis v = ( , ) |
Y ·( , )
v
x
Gambar 2.5
| Jika u,v, dan w adalah vektor – vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 dan m dan n adalah skalar, maka hubungan - hubungan berikut barlaku 1) Sifat komutatif: u + v = v + u 2) Sifat asosiatif : ( u + v ) + w = u + ( v + w) 3) Elemen Identitas terhadap Penjumlahan u + 0 = 0 + u = u 4) Sifat Tertutup : Hasil penjumlahan berupa vektor lagi 5) Ketidaksamaan Segitiga : ≤ + 6) 1u = u 7) 0u = 0 atau m0 = 0 8) Jika mu = 0, maka m = 0 atau u = 0 9) (mn)u = m(nu) 10) = 11) (-m)u = - (mu) = m(-u) 12) Sifat Distributif : (m + n )u = mu + nu 13) Sifat Distributif : m(u + v) = mu + nv 14) u+ (-1)u = u + (-u) = 0 |
Pendekatan terhadap vektor ada dua cara yakni : pendekatan geomerik ,dimana vektor – vektor diwakili oleh anak panah atau ruas garis terarah, dan pendekatan analitik,dimana vektor – vektor diwakili oleh sepasang atau tiga pasangan bilangan yang disebut komponen. Sifat – sifat operasi vektor diatas akan dibuktikan salah satunya pada sifat asosiatif bagian (b)
Bagian (b) (analitik)
( u + v ) + w = [( ) + ( )] + (
= ( , ) + (
= ([ ,[ + )
= ( [ ], + ])
= ( ) + ( , + )
= u + (v + w)
| Misalkan u,v, dan w diwakili oleh , dan pada gambar 3.1 maka, v + w = dan u + ( v + w ) = Juga, u + v = dan (u + v) + w = Oleh karena itu, u + ( v + w ) =( u + v ) + w |
Q v
u u+v R
P • u+(v+w) v+u w
(u+v)+w
S
Gambar 3.1
Vektor – vektor u + ( v + w )
Dan ( u + w ) + w adalah setara
CATATAN : Dengan menggunakan bagian (b) dari sifat operasi vektor, simbol u + v + w tidaklah membingungkan karena akan memperoleh jumlah yang sama di manapun tanda kurung disisipkan. Jika vektor u , v , dan w ditempatkan “sambung - menyambung “ maka jumlah u + v + w adalah vektor dari titik awal u ke titik akhir w (Gambar 3.1)
Besar Suatu Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
a. Jika u = dan v = , maka u + v = dan besarnya
=
b. Jika u = dan v = , maka u – v = dan besarnya
=
c.
u + v = 2 cos θ
v
u
d.
v u – v = 2 cos θ
u
Arah Suatu Vektor Hasil Penjumlahan dan Pngurangan
· Arah Suatu Vektor Hasil Penjumlahan
| = = β = arah vektor hasil penjumlahan |
v u + v
θ β
u
· Arah Suatu Vektor Hasil Pengurangan
| = = β = arah vektor hasil pengurangan |
v θ β
| Vektor Posisi adalah vektor yang titik pangkalnya O(0,0) |
Y • B(2,4)
b •A (4,1)
a
O X
Vektor posisi pada gambar diatas titik A(4,1) adalah = a = Sedangkan vektor
| OA = a dan OB = b adalah vektor – vektor posisi = + = - = b – a Jika A ( , dan B ( ), maka: = b – a = - = |
Y
A
a B
b
O
Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bidang dalam Bentuk Vektor dan Koordinat
Pembagian ruas dalam bidang dalam bentuk vektor ditentukan oleh :
Jika O adalah suatu titik yang diketahui dan P adalah titik pada ruas garis AB, sehingga AP : PB = m : n, maka :
= p =
· Jika P adalah titik tengah dari ruas garis AB, maka:
= ( + ) p = (a + b)
Pembagian ruas garis dalam bidang dalam bentuk koordinat ditentukan oleh rumus:
· Jika A( ), B( ), dan P( ) terletak pada ruas garis AB,sehingga AP:PB = m : n maka:
= dan =
· Jika P titik tengah ruas garis AB, maka:
= ( ) dan = ( )
VEKTOR DI
Vektor di adalah vektor yang terletakdi ruang dimensi tiga atau vektor yang mempunyai tiga komponen yaitu x,y, dan z. Sebagaimana vektor pada suatu bidang yang dapat digambarkan oleh sepasang bilangan real, maka vektor di ruang berdimensi 3 dapat digambarkan oleh tiga bilangan real,dengan memperkenalkan sistem koordinat siku-siku (rengtangular coordinate). Untuk membuat koordinat semacam ini, pilih salah satu titik O, yang disebut titik asal (origin), dan pilih tiga garis lurus yang saling tegak lurus melewati titik asal, yang disebut sumbu – sumbu koordinat (coordinat axes). Nama sumbu - sumbu tersebut x,y,dan z dan pilih suatu arah positif untuk masing - masing sumbu koordinat dan suatu satuan panjang untuk mengukur jarak (Gambar 4.1a). Setiap pasang sumbu koordinat membentuk satu bidang yang disebut bidang koordinat (coordinat plane). Bidang – bidang ini disebut bidang xy,bidang xz,bidang yz.
Z Z
Y
| |
| O |
x
Gambar 4.1a Gambar 4.1b
1. Sistem Koordinat dalam Ruang
Untuk setiap titik P pada ruang berdimensi 3,ditetapkan tiga bilangan (x,y,z) yang disebut koordinat – koordinat p.
Pada sistem koordinat dalam ruang sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z berpotongan di titik O(0,0,0) dan saling tegak lurus.
Sumbu OX ke kanan, sumbu OY ke belakang, dan sumbu OZ ke atas masing – masing adalah sumbu positif dan sumbu lawannya adalah negatif. Posisi titik P( ) terletak di kuadran pertama, dengan adalah jarak P ke bidang YOZ, adalah jarak P ke bidang XOZ, dan adalah jarak P ke bidang XOY (Gambar 4.1b).
2. Vektor Basis dalam Ruang
Vektor satuan dalam arah sumbu X disebut i
Vektor satuan dalam arah sumbu Y disebut j
Vektor satuan dalam arah sumbu Z disebut k
Tripel i.j, dan k merupakan kumpulan vektos basis. Dalam bentuk komponen vektor – vektor atuan dinyatakan sebagai :
i = , j = , dan k =
3. Vektor Baris dan Vektor Kolom
Jika p sebarang vektor titik P( ) dan p = maka p = + j + k
· Vektor p = + j + k dapat dinyatakan dalam vektor baris, yaitu p = ( )
· Vektor p = + j + k dapat dinyatakan dalam vektor kolom, yaitu p =
P( )
| p |
| k |
| j |
| X |
| O |
i
4. Vektor Posisi dari Suatu Titik
Misalkan P suatu titik dan O adalah titik pusat, maka adalah vektor posisi dari titik P.
1) Jika P( ), maka vektor posisi dari titik P adalah = p =
2) Jika P( ), maka vektor posisi dari titik P adalah = p =
3)
| = + = - = b – a Jika A( ), dan B( ), maka = |
| O |
Panjang Vektor
Dilambangkan dengan tanda “Harga mutlak”
Pada vektor di , panjang vektor : v = atau v = xi + yj + zk,dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras
Contoh :
1) Panjang vektor : = adalah = = 5
2) Panjang vektor : = 2i + j +2k adalah = = = 3
Hubungan antara Vektor
a) Jika vektor u dan v koliner (segaris) maka u = mv atau titik A,B, dan C, dikatakan koliner jika = m ,dengan m adalah skalar atau bilangan real.
b) Vektor u dan v yang bukan vektor nol dan tidak koliner dikatakan kopllanar (sebidang) dengan vektor w, jika dan hanya jika terdapat bidang real m dan n, sedemikian rupa hingga w = mu + nv
c) Jika vektor u, v, dan w bukan vektor nol, tidak koliner, dan tidak koplanar, maka hanya ada satu cara untuk menyatakan setiap p dalam bentuk lu + mv + nw, dengan l,m,dan n bilangan real.
d) Vektor u,v dan w yang bukan vektor nol adalah tidak koplanar, jika dan hanya jika memenuhi syarat “Jika lu + mv + nw = 0,maka l = 0; m = 0 ; dan n = 0
Panjang Vektor dalam Ruang
a) Misalkan vektor u = li + mj + nk atau u = , maka:
Ø Panjang (besar) vektor u, ditulis ditentukan oleh rumus =
Ø Panjang vektor satuan dari u adalah 1, vektor satuan biasa disebut dengan e ditentukan oleh rumus
e = =
Ø Besar sudut – sudut antara u dengan sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z yang dinyatakan dengan α,β, dan γ ditentukan dengan rumus cosinus arahnya:
= =
= =
= =
b) Bila A( ) dan B( ), maka mewakili vektor maka jarak antara A dan B adalah :
=
Vektor Satuan
Vektor satuan adalah suatu vector yang panjangnya satuan.
Dalam koordinat kartesian (koordinat tegak) :
Arah sumbu x : i
Arah sumbu y : j
Arah sumbu z : k
Sifat – sifat perkalian titik ( Dot product) vector satuan
i x i = j x j = k x k = 1
i x j = j x k = k x i = 0
Sifat – sifat perkalian silang ( Cross product) vektor satuan :
i x i = j x j = k x k = 0
i x j = k
j x k = i
k x i = j
ALJABAR VEKTOR
1.kesamaan vector
Misalkan :
Dan
B =Bxi + By j +Bzk
Jika a = b , maka ax = bx
ay = by
az = bz
contoh soal:
1.diketahui a = i + xj – 3k dan
b = (x – y) i – 2j – 3k
jika a = b, maka x + y =.......
jawaban:
a = i + xj – 3k dan
b = (x – y)i – 2j – 3k
a = b
1 = x –y
X = -2; disubtitusikan
1 = -2 – y ;→ y = -3
Jadi x + y = -2 + (-3) = -5
2.Penjumlahan vector
Misalkan a = a1 dan b = b1
a2 b2
a3 b3
jika a + b = c , maka vector
c = a1+b1
a2+b2
a3+b3
contoh:
Diketahui : a = 3 b = p
-2p 6
-1 3
-5
Dan c = 4q
2
Jika a + b = c , maka p – q =…….
Jawaban :
a + b = c
3 p -5
-2p + 6 = 4q
-1 3 2
3 + p -5
-2p +6 = 4q
(-1) +3 2
3 + p -5
-2p +6 = 4q
(-1) +3 2
3 + p = -5 → p = -8
-2p + 6 = 4q
22 = 4q → q = 5 ½
Jadi p – q = -8 – 5 ½
= - 13 ½
Pengurangan vector
Misalkan :
A = Axi +Ayj +Azk dan
B = Bxi + Byj +Bzk
Jika a – b = c , maka
C = (Ax – Bx)i+(Ay – By) j +(Az – Bz)k
Contoh 1
Diketahui titik – titik A (3,5,2) dan B (1,2,4). Tentukan komponen – komponen vektor AB.
Jawab ;
AB = b – a
1 3 -2 -2
2 - 5 = -3 jadi, AB = -3
4 2 2 2
Contoh 2
Diketahui titik – titik p (-1,3,0) dan Q (1,2,-2).
Tentukan panjang vektor PQ (atau jarak P ke Q).
Jawab ;
P (1,2,-2) → p = 1
2
-2
Q (-1,3,0) → q= -1
3
0
PQ = q – p = -1 1 -2
3 - 2 = 1
0 -2 2
PERKALIAN VEKTOR dengan bilangan real
Misalkan a = a1 dan m = bilangan real
a2
a3
jika c = m . a , maka
c = m a1 = m.a1
a2 m.a2
a3 m.a3
Contoh
Diketahui ; 2 2
a = -1 dan b = -1
6 4
Vektor x yang memenuhi a – 2x = 3b adalah……..
Jawab;
Missal
2 – 2x1 = 6 Þ -2x1 = 4 Þ x1= -2
-1 – 2x2 = -3 Þ -2x2 = -2 Þ x2 = 1
6 – 2x3 = 12 Þ -2x3 = 6 Þ x3 = -3
Jadi :
Vektor x = -2
1
-3
Tidak ada komentar:
Posting Komentar