BAB I
PENDAHULUAN
1. LATAR BELAKANG
Vektor, secara matematis vektor pada sebuah bidang merupakan pasangan berurutan dari bilangan real (a,b), sedangkan faktanya sebuah vektor merupakan besaran yang memiliki panjang dan arah. Kecepatan, percepatan, dan gaya merupakan penerapan sebuah vektor.
Sebagai contoh, pergerakan sebuah titik pada bidang Cartesius. Pergerakan titik tersebut dinyatakan sebagai fungsi dari waktu t, yaitu x = f(t) dan y = g(t) sehingga vektor posisi dari titik (f(t),g(t)) dinyatakan sebagai R(t) = (f(t),(t)), vektor posisi R(t) digambarkan sebagai garis yang berpangal di titik asal dan berujung di titik (f(t),g(t)). Dengan menggunakan konsep kalkulus, diperoleh vektor kecepatan pergerakan titik tersebut sebagai R’(t) = (f’(t),g’(t)). Perilaku kecepatan, percepatan, dan gaya sebagai sebuah vektor berkaitan dengan perilaku. Fenomena tersebut dikembangkan oleh Johann Friedrich Carl Gauss (1776-1857) dengan pendekatan geometri.
2. TUJUAN
A. Pengertian Vektor dan Penulisan Notasi Vektor
B. Penulisan Vektor Dalam Sistem Koordinat di
I. Penulisan vektor
II. Vektor Posisi
III. Kesamaan 2 vektor
IV. Vektor nol
V. Vektor unit
VI. Besar panjang (modulus) vektor
VII. Vektor sebarang
VIII. Vektor basis
C. Operasi Pada Vektor
I. Penjumlahan vektor
II. Pengurangan vektor
III. Perkalian vektor
D. Sifat-sifat Pada Operasi Vektor
E. Vektor Dalam sistem koordinat Ruang ()
F. Operasi Vektor di
I. Penjumlahan vektor di
II. Pengurangan vektor di
III. Perkalian vector di
IV. Vektor Posisi dan Vektor Sebarang
V. Perbandingan vektor di
VI. Perkalian skalar dua vektor di
BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian Vektor dan Penulisan Notasi Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Secara geometris vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah, arahnya dari titik pangkal ke titik ujung disebut panjang vektor.
Beberapa cara penulisan vektor adalah sebagai berikut:
1. Menggunakan dua huruf kapital yang diatasnya ada anak panah, misalnya: ,
2. Menggunakan dua huruf kapital yang diatasnya ada ruas garis, misalnya: , , dan
3. Menggunakan huruf kecil yang tercetak tebal, misalnya: a, b, dan c
4. Menggunakan huruf kecil yang diatasnya ada anak panah, misalnya: , dan
5. Menggunakan huruf kecil yang bergaris bawah, misalnya: a, b, dan c
6. Menggunakan huruf kecil yang diatasnya ada ruas garis, misalnya: , , dan
B. Vektor Dalam Sistem Koordinat di
I. Penulisan Vektor
a. Penulisan Secara geometri, suatu vektor dapat dinyatakan dengan ruas garis berarah. Perhatikan gambar dibawah ini:
Ruas garis berarah menyatakan vektor . Panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan anak panahnya menyatakan arah vektor . Titik A disebut titik awal, titik pangkal, atau titik tangkap. Titik B disebut titik ujung atau titik terminal.
b. Penulisan Vektor Secara Aljabar
Vektor di (dibaca vektor di ruang dua atau vektor di ruang dimensi dua) adalah vektor-vektor yang terletak pada bidang datar. Sebagai contoh, vektor dan vektor yang terletak pada bidang α pada gambar dibawah ini :
Secara aljabar vektor dapat dinyatakan dalam bentuk matriks kolom atau matriks baris. Dalam ruang dimensi dua ( ) untuk menulis vektor adalah sebagai berikut.
Vektor dari titik A ke B ditulis , dengan =
Komponen horisontal : ke kanan positif dan ke kiri negatif
Komponen vertikal : ke atas positif dan ke bawah negatif
Secara umum penulisan vektor adalah sebagai berikut:
1.U= dalam bentuk vektor kolom
2.U= dalam bentuk vektor baris
Contoh:
Nyatakan dalam bentuk vektor kolom dan vektor baris dari gambar berikut:
Jawab:
Horisontal : 3 ke kanan, maka = +3
Vertikal : 3 ke atas, maka = +3
Vektor kolom =
Vektor baris =
-Horisontal : 5 ke kanan, maka = +5
-Vertikal : 4 ke bawah, maka = -4
Vektor kolom =
Vektor baris =
II. Vektor posisi
Vektor posisi adalah vektor yang pangkalnya di titik O. Vektor posisi titik A adalah =
y
A
x
o
III. Kesamaan dua vektor
Dua buah vektor = dan = dikatakan sama jika dan hanya jika = dan = dan arah kedua vektor itu sama.
IV. Vektor nol
Vektor nol adalah suatu vektor yang panjangnya sama dengan nol dan arahnya sembarang. Vektor nol dinotasikan oleh . Jika dinyatakan secara aljabar vektor nol adalah vektor yang setiap elemennya adalah O atau O =
V. Vektor unit (satuan)
Vektor unit adalah vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan ke arah dilambangkan dengan , yaitu vektor yang searah dengan vektor dan panjangnya satu satuan.
Jika = , maka vektor satuan ke arah adalah = dan = 1
Contoh:
Jika = , tentukan vektor ke arah
Jawab:
= = = = =
Pembuktian: =1
= = = = 1
VI. Besar panjang (modulus) vektor
Modulus vektor adalah panjang segmen garis yang menyatakan vektor, misalnya = , maka =
VII. Vektor sebarang
Sebarang vektor yang bertitik pangkal dititik dan berujung dititik disebut vektor sebarang.
y
o
+ =
= –
= -
VIII. Vektor basis
Vektor basis adalah vektor satuan yang saling tegak lurus. Didalam terdapat dua vektor basis, yaitu i = dan j = , kedua vektor ini saling tegak lurus dan terletak pada sumbu koordinat kartesius.
Contoh:
= 3i + 2j
y
2
x
o 4
Contoh:
Diketahui = maka = = = 10
C. Operasi Pada Vektor
Dalam vektor ada beberapa operasi, yaitu:
I. Penjumlahan vektor
Penjumlahan dua vektor atau lebih dapat dipahami secara geometri dan aljabar. Hasil dari penjumlahan vektor disebut resultan.
a) Penjumlahan vektor secara geometri
Penjumlahan dua vektor atau lebih bila disajikan secara geometri dapat dilakukan dengan dua cara yaitu:
1) Aturan segitiga
Untuk mendapatkan = + dapat dilakukan sebagai berikut:
Vektor dipindahkan sedemikian hingga titik pangkalnya berimpit dengan titik ujung . vektor = + adalah suatu vektor yang pangkalnya merupakan titik pangkal a dan ujungnya merupakan titik ujung b, seperti terlihat pada gambar di bawah ini.
2) Aturan jajar genjang
Cara lain untuk mendapatkan = + adalah dengan memindahkan sedemikian rupa sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal . vektor = + adalah vektor yang titik pangkalnya di dan serta berimpit dengan diagonal jajar genjang yang dibentuk oleh dan . seperti gambar dibawah ini.
= +
b) Penjumlahan vektor secara aljabar
Untuk mendapatkan vektor = + secara aljabar dapat dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen dan yang bersesuaian.
Misalkan = dan = , maka + = + =
II. Pengurangan vektor
Pengurangan vektor a dan b dilakukan dengan menggunakan invers penjumlahan suatu vektor ( - = + )).
Misalnya diketahui = - , berdasarkan pengertian pengurangan dua vektor dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan dengan lawan , = + . untuk mendapatkan secara aljabar dapat dilakukan dengan cara mengurangkan komponen-komponen dan , yang bersesuaian.
Jika = dan = , maka = - = + )= + =
Contoh:
= dan = , maka - = + ) = + =
III. Perkalian vektor
Perkalian suatu vektor dengan skalar, misalkan adalah suatu vektor, maka adalah vektor yang panjangnya 2 kali panjang vektor dan searah dengan . Sedangkan adalah vektor yang panjangnya 2 kali panjang vektor berlawanan arah dengan , hal ini bila dipandang secara geometri, secara aljabar perkalian vektor dengan skalar sama dengan mengalikan setiap komponen vektor dengan skalar.
Misalnya jika = , maka = 6 =
D. Sifat-sifat Pada Operasi Vektor
a. Komutatif penjumlahan + = +
b. Asosiatif penjumlahan ( + ) + = + ( + )
c. Elemen identitas + = + =
d. Invers penjumlahan + ) = ) + = 0
e. K(l) = (kl)
f. K( + ) = +
g. K( - ) = -
h. (k+l) = +
E. Vektor Dalam sistem koordinat Ruang ()
Vektor di adalah vektor-vektor yang diawalioleh ruas garis berarah dalam suatu ruang dimensi tiga. atau dikenal dengan ruang dimensi tiga merupakan suatu sistem koordinat yang terdiri dari sumbu OX, OY, dan OZ yang satu sama lain saling tegak lurus. Jika sebuah titik T terletak pada sistem koordinat ruang, maka T mempunyai koordinat (x,y,z), dengan x disebut absis, y disebut ordinat, dan z disebut altitud dari T. Bisa dilihat gambar dibawah ini:
Menulis vektor dalam ruang dapat dengan cara matriks kolom atau matriks baris, kedua cara menuliskan vektor itu adalah seperti berikut:
= atau =
Dengan aturan tersebut vektor dalam bentuk dapat ditulis juga dengan
= .
a. Panjang Vektor
Vektor posisi titik U adalah = = . menggunakan teorema pythagoras, diperoleh: = +
=
=
=
=
Jadi, panjang vektor = adalah =
Contoh soal :
Tentukan panjang vektor berikut !
a. = b. =
Jawab:
a. = b. =
= =
= =
= 5 = 3
b. Vektor Satuan
seperti di , vektor satuan di ke arah u = adalah
=
F. Operasi Vektor di
Seperti halnya , operasi vektor di pun terdapat penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor berskalar.
I. Penjumlahan Vektor di
Penjumlahan vektor di dapat diperoleh dengan menjumlah komponen-komponen vektor yang bersesuaian.
Jika = dan =, maka + =
II. Pengurangan Vektor di
Vektor dikurangkan dengan sama artinya dengan vektor dijumlahkan dengan lawan vektor , yaitu sehingga - = + ). Pengurangan vektor di dapat diperoleh dengan menjumlah komponen-komponen vektor yang bersesuaian.
Jika = dan = , maka - =
III. Perkalian Vektor di
Perkalian vektor dengan skalar menghasilkan sebuah vektor yang panjangnya sama dengan hasil kali panjang vektor dengan skalar yang dikalikan. Jika skalar positif, maka vektor searah dengan vektor awal. Jika skalar negatif, maka vektornya berlawanan arah dengan vektor awal. Perkalian vektor dengan skalar sama dengan mengalikan setiap komponen vektor dengan skalar.
Jika k skalar dan = , maka k . = k =
Sifat–Sifat Operasi aljabar vektor di berlaku juga pada operasi aljabar vektor di
IV. Vektor Posisi dan Vektor Sebarang
Pada ruang dimensi tiga vektor posisi didefinisikan sebagai vektor yang pangkalnya di titik pangkal koordinat yaitu O (0,0,0). Vektor posisi suatu titik dilambangkan dengan huruf kecil yang digaris atasnya ( ).
Jika titik A (x,y,z), maka vektor posisi titik A adalah =
Vektor sebarang adalah vektor yang pangkalnya bukan di titik pangkal koordinat yaitu O (0,0,0). yang titik pangkalnya bukan di titik O (0,0,0), dapat dilakukan dengan cara seperti pada vektor di , yaitu dengan menggunakan rumus vektor posisi.
Jika adalah vektor posisi titik A (), maka =
Jika adalah vektor posisi titik B (), maka =
Dengan demikian dapat dinyatakan dengan = - = -
=
V. Perbandingan vektor di
Rumus perbandingan vektor di yang telah dipelajari berlaku juga untuk perbandingan vektor di Jika suatu ruas garis dalam dan T suatu titik pada sehingga : = m:n, sehingga T disebut titik pembagi ruas garis AB dengan dan berturut – turut menyatakan vektor posisi titik A dan B, maka vektor posisi dari T adalah =
Jika T terletak pada perpanjangan garis , maka vektor posisi T adalah =
VI. Perkalian skalar dua vektor di
Perkalian antara dua vektor pada hanya mendefinisikan berupa dot vektor saja tetapi pada ruang tiga dimensi selain dot vektor juga didefinisikan croos vektor. Dot vektor sering disebut perkalian skalar antara dua vektor, sedangkan cross vektor sering disebut perkalian vektor antara dua vektor. Perkalian skalar antara dua vektor hasilnya berupa skalar sementara perkalian vektor antara dua vektor hasilnya berupa vektor. Namun yang dipelajari disini hanya dot vektor.
Diketahui dan serta sudut antara dan adalah , maka perkalian skalar dari dan adalah . = || cos
Selain devinisi di atas, untuk menyelesaikan perkalian skalar dua vektor di dapat pula digunakan dalil berikut.
Jika = dan = , maka . = . = +
Selanjutnya untuk mendapatkan sudut antara dua vektor, dari rumus perkalian skalar dua vektor . = ||.|| cos , maka
Cos =
Dengan dan masing-masing bukan vektor nol, sedangkan adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh dan .
Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor yang telah dijelaskan di berlaku juga untuk di .
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Vektor dan skalar
a. vektor adalah besaran yang mempunyai panjang dan arah.
b. Dua vektor dikatakan sama jika panjang dan arah keduanya adalah sama.
c. Secara geometri, penjumlahan dua vektor dilakukan dengan menggeser salah satu vektor sedemikian sehingga titik pngkal vektor tersebut berimpit dengan titik ujung vektor lainnya.
d. Pengurangan dua vektor sama halnya dengan menjumlahkan vektor yang satu dengan lawan dari vektor lainnya.
e. Perkalian vektor dengan skalar berarti menggandakan panjang vektor tersebut dengan memperhatikan arahnya.
2. Vektor di
1. Penulisan vektor = dapat dinyatakan sebagai matriks kolom atau matriks baris, yaitu = atau .
2. Panjang vektor dan vektor khusus
a. Panjang vektor , =
b. Vektor nol, =
c. Vektor satuan,
d. Vektor basis,
3. Operasi vektor
a.
b. ()
c.
d.
e. K(l
f. K(
g. K(
h. (k+l)
4. Vektor posisi titik A() adalah =
5. Misalnya A() dan B (), maka =
6. Misalnya A(), B(), dan = m : n, maka vektor pada titik T adalah =
7. Perkalian skalar dua vektor,
8. Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor
a.
b. =
c. = =
d. = +
e. K( (
f. = +
3. Vektor di
1. Perkalian vektor dapat dinyatakan sebagai matriks kolom atau matriks baris,yaitu = .
2. Panjang vektor dan vektor khusus
a. Panjang vektor =
b. Vektor nol, =
c. Vektor satuan,
d. Vektor basis, = + +
3. Vektor posisi titik A(x,y,z) adalah =
4. Misal A dan B,
maka = =
5. Perkalian skalar dua vektor
. = ||.|| cos
. = +
Borgata Hotel Casino & Spa - DrmCD
BalasHapusOur 안성 출장마사지 Borgata 사천 출장샵 Hotel Casino & Spa is your Atlantic City getaway. Featuring a 공주 출장마사지 full-service spa, a restaurant, and robust nightlife, Borgata Hotel Casino 남양주 출장샵 & Spa 고양 출장마사지 is the