kelompok 2 / 2010 / B

BAB I

PENDAHULUAN

1.    Latar Belakang

   

 

                                                                                                          

 

                                                                                                                                      

 

            Suku banyak (polinomial) adalah sebuah ungkapan aljabar yang variabel (peubahnya) berpangkat bilangan bulat non negatif. Variabel peubah yaitu pengganti nilai yang memberikan nilai berbeda pada fungsi.

Penjumlahan dan pengurangan suku banyak. Operasi penjumlahan dan pengurangan dua suku banyak atau lebih dapat dilakukan jika setiap suku banyak yang dijumlahkan atau dikurangkan mempunyai variabel yang pangkatnya sama. Operasi perkalian suku banyak berarti mengalikan setiap suku dari suku banyak dengan semua suku dari suku banyak lainnya.

2.    Rumusan Masalah

1.      Bagaimana menentukan ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmatika dan geometri?

2.      Bagaimana menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematika dalam pembuktian?

3.      Bagaimana menentukan derajat suku banyak, hasil bagi, dan sisa pembagian?

4.      Bagaimana menentukan penjumlahan dan pengurangan pada suku banyak?

5.      Bagaimana menentukan faktor linier dari suku banyak dengan teorema faktor?

3.    Tujuan

1.      Kita dapat menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmatika dan geometri.

2.      Kita dapat menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematika dalam pembuktian.

3.      Kita dapat menentukan derajat suku banyak, hasil bagi, dan sisa pembagian.

4.      Kita dapat menentukan penjumlahan dan pengurangan pada suku banyak

5.      Kita dapat menentukan faktor linier dari suku banyak dengan teorema faktor.

BAB II

PEMBAHASAN

 

                                                                                                          

 

                                                                                                                                      

 

1.     Bar isan dan Deret Aritmatika

1.1 Barisan Aritmatika

Perhatikan barisan-barisan bilangan berikut ini.

(i)     2, 8, 14, 20 ….

 (ii ) 3, 5, 7, 9 ….

(ii)               25, 20, 15, 10 ….

Barisan diatas merupakan contoh barisan aritmatika. Secara umum dapat dikatakan bahwa :

U1, U2, U3, U4, … , Un disebut barisan aritmatika jika U2 – U1 = U3 – U2 = … = Un – Un-1 = konstanta. Konstanta dalam hal ini disebut beda ( b ).

Untuk barisan pada contoh diatas :

(i)     8 - 2 = 14 – 8 = 20 – 14 = … = 6. Jadi, bedanya adalah 6.

(ii)   5 – 3 = 7 – 5 = 9 – 7 = … = 2. Jadi, bedanya adalah 2.

(iii) 20 – 25 = 15 – 20 = 10 – 15 = … = -5. Jadi, bedanya adalah -5.

Barisan aritmatika ialah suatu barisan bilangan-bilangan dimana beda (selisih) dianatara dua suku berurutan merupakan bilangan tetap.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b dapat diturunkan seperti berikut.

U₁ = a                  

U₂ = a + b

U₃ = a + 2b

U₄ = a + 3b

U₅ = a + 4b

  .      .      .    

  .      .      .

U_n = a + (n – 1) b

Rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah

Un = a + (n – 1) b dimana : a adalah suku pertama dan b adalah beda.

1.2  Sisipan

Jika diantara dua suku yang berurutan dalam suatu barisan aritmatika dimasukkan satu atau lebih suku (bilangan) yang lain sehingga menjadi barisan aritmatika yang baru. Maka proses ini disebut menyisipkan atau interpolasi. Misalkan, diantara dua suku (dua bilangan) U₁ dan U₂ disisipkan k bilangan sehingga terjadi barisan aritmatika, maka :

    Barisan pertama  : U₁, U₂ dimana beda b = U₂ – U₁.

Apabila beda barisan aritmatika yang baru dimisalkan bʹ, maka barisan aritmatika baru ialah :

    U₁, (U₁ + bʹ), (U₁ + 2 bʹ), … , ( U₁ + kbʹ), U₂

dimana  U₁ + ( k + 1) b’ = U₂

 U₁ + ( k + 1 ) bʹ = U₂

⇔ bʹ =    atau  bʹ  =   

1.3  Suku Tengah U_t

Apabila banyak suku suatu barisan aritmatika ganjil, maka terdapat sebuah suku tengah yang disebut U_t .

Ut =   ( a + Un )

a, …, U_t, …, U_n, →  untuk n ganjil

maka :   2U_t  = a + U_n atau                                               

dimana,  U_t = suku tengah

                 a  = suku pertama

                U_n = suku ke-n

Misalkan : 1, 5, 9, 13, 17, →  n = 5 dan suku tengah U_t

U_t =   ( 1+17 ) = 9

                                                                                                                                      

1.4 Deret Aritmatika

Dari barisan aritmatika 4, 7, 10, 13, 16, … dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurutan dari suku barisan tersebut, yaitu 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + …

Karena suku-suku yang dijumlahkan merupakan suku-suku dari barisan aritmatika, maka deret yang terbentuk disebut deret aritmatika.

Definisi

Jika diketahui  U1, U2, U3, …, Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika, maka U1 + U2 + U3 + … + Un disebut deret aritmatika, dengan Un = a + (n  1) b.

Jika  S_n  merupakan jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmatika, maka rumus umum untuk  S_n dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.

 S_n = U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n

maka

S_n = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n  1) b)

S_n = U_n + (U_n  b) + (U_n  2b) + … + a

2S_n = (a + U_n) + (a + U_n) + (a + U_n) + … + (a + U_n)

2S_n = n (a + U_n)  →  S_n =  n (a + U_n)

                                 S_n =  n [a + (a + (n  1) b)]

                                 S_n =  n [2a + (n  1)b]

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah:

Sn =  n [2a + (n  1) b]

Rumus jumlah deret aritmetika dapat diuraikan sebagai berikut:

1.      S_n =  n [2a + (n  1) b] =  n [a + (a + (n  1) b)]

 S_n =  n (a + U_n)

2.      S_n =  n [2a + (n  1) b] = an +  bn² -  bn

S_n  =   bn² + (a  b ) n, atau

S_n  = pn² + qn, merupakan suatu fungsi kuadrat tanpa konstanta, untuk p = b dan q = a  b

2.  Barisan dan Deret Geometri

2.1 Barisan Geometri

Perhatikan bahwa , , , , … merupakan contoh barisan geometri. Contoh-contoh barisan geometri lainnya adalah:

a.       2, 6, 18, 54 ….

b.      5, -10, 20, -40 ….

c.       27, 9, 3, 1 ….

Secara umum dapat dikatakan bahwa barisan: U₁, U₂, U₃, U₄, … U_n merupakan barisan geometri jika:

 =  =  =  =  = konstanta

                                                  

Konstanta tersebut dinamakan rasio (r). Pada contoh barisan tersebut,

(a)    Rasio =  =  =  = … = 3

(b)   Rasio =  =  =  = … = -2

(c)    Rasio =  =  =  = … =

Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r dapat ditentukan sebagai berikut.

U₁ = a

U₂ = ar

U₃ = ar²

  .       .         

Un = ar^n-1

	Un = arn-1

 

                                                            dimana, U_n = suku ke-n barisan geometri

                                                                                        a = suku pertama

                                                                                         r = rasio

                                                                                        n = banyak suku

2.2 Sisipan

Jika diatara dua suku barisan geometri:

 a, ar, ar²              …. (1)

Kita sisipkan tiga suku sehingga membentuk barisan geometri baru sebagai berikut:

a, arʹ, arʹ ², arʹ ³, ar, … , ar²           .... (2)

Sehingga:  U_n-1 · r = U_n

arʹ ³  rʹ = ar

⇔        arʹ ⁴ = ar

⇔         rʹ ⁴  = r

⇔            rʹ  =   atau  rʹ  =

Secara umum:

Jika disisipkan k suku diantara setiap dua suku yang berurutan sehingga membentuk barisan geometri baru maka: rasio barisan geometri baru adalah

rʹ  =       , rʹ  = rasio barisan geometri baru

                        k  = sisipan

                        r  = rasio barisan geometri yang lama

dan banyak sukunya ialah:

nʹ  = a + (n  1)k

                                          dimana,    nʹ = banyak suku yang baru

                                                            a = suku pertama

                                                            n = banyak suku yang lama

                                                            k = sisipan

Dari barisan geometri:

a,   ar,   ar² , …, ar^n-2,   ar^n-1,   arⁿ

                  ↕     ↕      ↕             ↕        ↕        ↕

                 U₁  U₂    U₃         U_n-1     U_n     U_n+1

Jika U_n diwakili oleh U_k maka U_n-1 diwakili oleh   dan U_n+1 diwakili oleh U_k · r, sehingga

, U_k, U_k · r

U_k² = (  ) · ( U_k · r )

Kuadrat setiap suku barisan geometri sama dengan hasil kali kedua suku tetangganya.

Misalnya:

( U₅)² = (U₄)(U₆)

(ar⁴)² = ar³ · ar⁵ = (ar⁴)²

2.3 Deret Geometri

Seperti halnya pada deret aritmatika, jika kita memiliki suatu barisan geometri maka dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yang disebut deret geometri. Secara umum dapat dinyatakan bahwa:

Definisi

Jika U1, U2, U3, …….., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan geometri maka U1 + U2 + U3 + …. + Un disebut deret geometri, dengan Un = arn-1.

           Jika S_n merupakan jumlah n suku pertama dari deret geometri, maka rumus untuk Sn dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.

           S_n = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + …. + U_n, maka

           S_n = a + ar + ar² + …. + ar^n-2 + ar^n-1

Kalikan S_n dengan r

           rS_n = ar + ar² + ar³ + …. + ar^n-1 + arⁿ

Kurangkan rS_n terhadap S_n

           S_n  =  a + ar + ar² + ... + ar^n-2 + ar^n-1

              rS_n  = ar + ar² + ... + ar^n-2 + ar^n-1 + arⁿ

           S_n – rS_n  =  a – arⁿ

           S_n(1 .. r)  =  a(1 – rⁿ)

           S_n =

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret geometri adalah:

Sn =  ; untuk r < 1 atau Sn =  ; untuk r > 1, a adalah suku pertama, dan r  adalah rasio.

2.4 Deret Geometri Tak Hingga

Perhatikan deret geometri berikut ini.

1 +  +  +  + ……

Jika deret tersebut diteruskan, maka tidak terhitung banyak seluruh deret geometri tersebut. Deret geometri yang demikian disebut deret geometri tak hingga. Dengan memperhatikan garis bilangan tersebut terlihat bahwa jumlah deret geometri tersebut mendekati 2.

Dengan menggunakan rumus deret geometri kita juga dapat menentukan jumlah deret geometri tak hingga tersebut, yaitu:

S_{n = 1}

=

Untuk n → ∞, maka

 

 = 2

Jika suatu deret geometri tak hingga dapat ditentukan pendekatan jumlahnya, maka deret tersebut dinamakan deret yang konvergen. Beberapa contoh deret yang konvergen:

(1)   1 +  +  +  + ……

(2)   100 – 50 + 25  2 + …..

(3)   1.000 + 100 + 10 + 1 + 0,1 + ……

Rasio pada masing-masing deret tersebut adalah ,  , dan 0,1. Perhatikan pula deret geometri tak hingga berikut ini.

(1)   1 + 4 +16 + 64 + ….

(2)   2  6 + 18  54 + ….

(3)   3 + 6 + 12 + 24 + ….

Rasio pada masing-masing deret tersebut adalah 4, , dan 2.

Jika deret tersebut diteruskan, maka nilainya akan semakin besar dan tidak terbatas. Deret yang demikian disebut deret geometri divergen. Dengan memperhatikan beberapa contoh deret tersebut, dapat diambil kesimpulan berikut ini.

Suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah tertentu (konvergen) jika rasio deret tersebut terletak pada interval                                   < r < 1 atau  < 1.

Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Hingga

Jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah:

S_n =  =  

 =  =   

Untuk n  dan  < 1, maka   0

 =   0 =

Jadi, rumus jumlah deret geometri tak hingga ialah:

=  di mana  < 1 atau  < r < 1  = a + ar +  + + … =

3.   Notasi Sigma dan Induksi Matematika

3.1 Notasi Sigma

Salah satu cara untuk menulis jumlah dari suatu barisan bilangan ialah dengan menggunakan symbol ∑ (baca sigma), yaitu salah satu huruf kapital Yunani, yang berarti jumlah.

Misalnya:        
1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36                                                                         …. (1)

Jumlah bilangan diatas dapat ditulis sebagai berikut:

1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6²                                                                        …. (2)

Tiap suku dalam (2) dapat dinyatakan sebagai k² untuk k berturut-turut disubstitusikan dengan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.

Dengan menggunakan tanda sigma, maka jumlah (2) dapat dinyatakan dengan singkat sebagai berikut:

1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 =                                                         …. (3)

Notasi     dibaca jumlah  untuk k = 1 sampai dengan k = 6.

1 dan 6 masing-masing disebut batas bawah dan batas atas penjumlahan. Himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6} disebut daerah penjumlahan. 

Dengan demikian,      

 = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6²  

 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 

 = 91

Secara umum:

a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n-1 + a_n =

3.2 Sifat-sifat notasi sigma

Untuk mempermudah perhitungan dalam mengerjakan soal-soal yang berhubungan dengan notasi sigma, seringkali dibutuhkan pengertian tentang sifat-sifat notasi sigma berikut ini.

^1.         = u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n

2.       =

3.       = Cn , dimana C merupakan suatu konstanta

4.      , dimana C merupakan suatu konstanta

5.       =     

Ruas kanan disebut jumlah monomial

 =     

^6.         

7.     

8.       , dimana m = 1, 2, 3, …, n yang merupakan elemen himpunan bilangan asli.

3.3 Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan tahapan pembuktian suatu rumus atau teori umum dari hipotesa tertentu.

Misalkan kita akan menjumlahkan 200 bilangan asli yang pertama berikut:

 1 + 2 + 3 + … + 199 + 200 = ….

Untuk mempermudah perhitungan, perhatikan pola dibawah ini.

Jumlah satu suku : S₁ = 1

Jumlah dua suku :  S₂ = 1 + 2 = 3 =

 S₃ =  1 + 2 + 3 = 6 =

 S₄ =   1 + 2 + 3 + 4 = 10 =

Secara umum kita akan memperoleh kesimpulan bahwa:

                                     

S_n =

Sehingga,

1 + 2 + 3 + … + n = 

Dalam matematika, proses dari pengembangan pola sampai pengambilan kesimpulan tidak dapat  dianggap sebagai bukti untuk rumus S_n =  . Oleh karena itu, diperlukan suatu bukti formal bahwa kesimpulan tersebut benar untuk setiap bilangan asli n .

Ada dua langkah untuk pembuktian suatu rumus Sn yang menyangkut bilangan asli n :

Langkah 1: Tunjukkan dengan substitusi yang sebenarnya bahwa rumus Sn yang dinyatakan adalah benar untuk satu nilai positif n, misalnya n = 1, atau n = 2. dan seterusnya.

Langkah 2: andaikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k, kemudian buktikan bahwa rumus adalah benar untuk n = k + 1.

Jika langkah 1 dan 2 terbukti benar, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa rumus Sn berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Jadi, suatu pernyataan atau rumus berlaku untuk setiap bilangan asli n, jika:

1.   berlaku untuk n = 1, dan

2.   jika berlaku untuk  n = k, maka berlaku juga untuk n = k + 1.

Kedua langkah inilah yang disebut pembuktian dengan induksi matematika.

4.       Suku Banyak

4.1  Pengertian Suku banyak

Suku banyak (polinomial) adalah sebuah ungkapan aljabar yang variabel (peubahnya) berpangkat bilangan bulat non negatif. Variabel peubah yaitu pengganti nilai yang memberikan nilai berbeda pada fungsi.

Suatu suku banyak (polinom) berderajat n secara umun dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut :

f(x) = a n  x n  +  a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 +…+ a1 x1  + a 0

dengan :

·           a n , a n−1 , a n−2 , ….,a 2 , a1 , a 0 adalah koefisien - koefisien

       suku banyak yang merupakan konstanta real

dengan a n ≠ 0

·           a 0 adalah suku tetap yang merupakan konstanta real

·           n merupakan pangkat tertinggi dari x.

Pangkat tertinggi variabel x pada suku banyak yang bersangkutan disebut derajat suku banyak. Penulisan suku banyak biasanya disusun menurut pangkat turun dari variabel tersebut. Pangkat yang tertinggi diletakkan pada urutan paling depan, sedangkan yang berpangkat lebih kecil berada di sebelah kanannya.

Contoh :

1.      x² - 3x + 2, merupakan suku banyak berderajat 2 dengan koefisien x² adalah 1.

2.      suku banyak berderajat 3 dengan,

Koefisien

Koefisien

Koefisien x adalah 3,

Konstanta atau suku tetap adalah -2.

3.      4, Merupakan suku banyak berderajat 0, dengan suku tetap 4.

4.       

5.       + 4, bukan merupakan suku banyak.

4.2 Operasi Antar Suku banyak

Penjumlahan dan pengurangan suku banyak

Operasi penjumlahan dan pengurangan dua suku banyak atau lebih dapat dilakukan jika setiap suku banyak yang dijumlahkan atau dikurangkan mempunyai variabel yang pangkatnya sama.

Misalkan f(x) suku banyak berderajat m dan g(x) suku banyak berderajat n, maka f(x) ± g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum m atau n.

Contoh :

Diketahui dua persamaan suku banyak f(x) dan g(x) yakni f(x)=

a.      

b.     

a.      

=  x³ + 3x² + x + 3

Jadi, f(x) + g(x) = x⁴ + x³ + 3x² + x + 3 dan memiliki derajat 4.

b.      f(x)  –  g(x)       = (x⁴ + x² +2) – (x³ + 2x² + x +1 )

 =  x⁴ – x³ – x² – x – 1

Jadi, f(x) – g(x) = x⁴ – x³ – x² -1 dan memiliki derajat 4.

4.2.1 Perkalian Suku banyak

Operasi perkalian suku banyak berarti mengalikan setiap suku dari suku banyak dengan semua suku dari suku banyak lainnya. Perhatikan contoh berikut ini.

Contohnya:

 

4.2.2 Pembagian Suku banyak

Ø Pembagian suku banyak bentuk panjang

Pembagian suku banyak bentuk panjang menggunakan cara pembagian yang umum pada bilangan. Misalkan kita ingin membagi f(x) = ax³ + bx² + cx + d dengan (x – k). kita melakukannya dengan cara sebagaimana berikutnya :

 

Pembagian itu dapat dinyatakan dalam bentuk berikut :

	ax3 + bx2 + cx + d   =  {ax2+ (ak + b) x + (ak2 + bk + c)}. (x – k) +                                       (ak3 + bk2 + ck + d)

 

Dengan (x – k) disebut pembagi.

            {ax² + (ak + b) x + (ak² + bk + c)} disebut hasil bagi.

            (ak³ + bk² + ck + d) disebut sisa.

Pembagian suku banyak bentuk panjang ini selalu dapat digunakan pada pembagian suku banyak khususnya jika derajat yang dibagi lebih besar atau sama dengan derajat pembagi.

Ø Pembagian suku banyak cara sintetik (Horner)

Sebelum membahas pembagian suku banyak cara sintetik, pemberian dan bandingan pembagian suku banyak bentuk panjang dengan penentuan nilai suku bayak cara skema berikut. Misal pembagian (ax³ + bx² + cx + d) oleh (x – k) kita bandingkan dengan pencarian nilai f(k).

Pada pembagian sukubanyak bentuk panjang :

 

Penentuan nilai sukubanyak cara skema

k	a      b                 c                           d         ak               ak2 + bk               ak3 + bk2 + ck
	a      ak + b        ak2 + bk + c

Dengan membandingkan pembagian suku banyak f(x) oleh (x – k) bentuk panjang dan menentukan nilai suku banyak f (k) dari f(x) cara skema di atas nampak bawah :

1.    Sisa pembagian (ak³ + bk² + ck +d) = f(k)

2.    Koefisien hasil bagi ax² + (ak + b)x + (ak² + bk + c) sama dengan nilai yang ada pada baris paling bawah cara skema.

Dari perbandingan tersebut dapat kita simpulkan bahwa menentukan nilai suku banyak f(k) dengan cara skema dapat digunakan untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian f(x) = ax³ + bx² + cx + d dan oleh (x – k). cara inilah yang disebut pembagian suku banyak cara sintetik atau yang bisa disebut cara Horner.

Pembagian suku banyak dengan cara sintetik ini dapat digunakan untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembegian p(x) oleh (x – k), atau (ax² + bx + c) dengan a ≠ 0 asalkan (ax² + bx + c) dapat difaktorkan.

Ø Pembagian suku banyak dengan pembagi (x - k)

Pembagian suku banyak f(x) oleh (x - k) dengan sisa pembagian f(k) dan hasil bagi h(x) dapat dinyatakan dengan :

F(x) = (x - k) . h(x) + f(k)

                                                                                   

Dengan :     f(x) adalah suku banyak berderajat n,   dibagi,

                   (x – k) adalah pembagi,

                   h(x) adalah hasil bagi, berupa suku banyak berderajat (n - 1), yang koefisiennya didapat dengan mencari nilai f(k) cara skema, f(k) adalah sisa.

Ø Pembagian suku banyak dengan pembagi (ax + b)

Pada subbab sebelumnya kita telah membahas pembagian suku banyak f(x) oleh (x – k). sekarang kita akan membagi suku banyak f(x) oleh (ax + b) dengan menggunakan proses yang telah kita pelajari sebelumnya.

Misalkan ada k suatu bilangan rasional sehingga k  =  , maka

                                        (x – k)  =  x -

bila f(x) dibagi , h(x) adalah hasil bagi dan f adalah sisa, maka kita peroleh persamaan dasar pembagian.

                                        F(x)  = 

Karena     =    (ax + b), maka

                     F(x)   =    (ax + b) . h(x) + f

	F(x)  =  (ax + b) .

 

dengan       f(x) adalah suku banyak yang dibagi

                   (ax + b) adalah pembagi

                    adalah pembagi

                    adalah sisa pembagi

Ø Pembagian suku banyak dengan pembagi (ax² + bx + c)

Untuk membagi suku banyak f(x) dengan (ax² + bx + c), akan kita gunakan pengetahuan yang kita peroleh pada subbab sebelumnya. Misalkan (ax² + bx + c) dapat difaktorkan menjadi (ax – k₁) (x – k₂), maka pembagian dapat kita selesaikan dengan 3 tahap berikut:

Tahap 1     :                                                                                                                   Bagi f(x) dengan (ax – k₁), maka f(x) = (ax – k₁) .  + f …….                                                                            (1)

                   Misalkan  = h₁ (x), maka f(x) = (ax – k₁) . h₁(x) + f  ………     (2)

Tahap 2     :                                                                                                                   Bagi h₁ (x) dengan (x – k₂), maka h₁(x) = (x – k₂) . h₂(x) + h₁(k₂) .........                                                                    (3)

Tahap 3     :                                                                                                                   Substansikan (3) ke (2), maka kita peroleh

                   F(x) =    (x – k₂) h₂(x) (ax – k₁) . h₁ (k) +  f

                            =   (ax – k₁) (x – k₂) . h₂ (x) + (ax – k₁) . h₁(k₂) + f

	F(x) = (ax2 + bx + c) . h2(x) + {(ax – k1) . h1 k2) + f}

 

Dengan f(x) sukubanyak yang bagi,

              (ax² + bx + c) adalah pembagi,

              h₂ (x) adalah hasil bagi, dan

              (ax + k₁) . h₁ (k₂) + f  adalah sisa pembagian.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.

Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian f(x) = 3x⁴ – 2x³ – 10x² + 7x + 1

oleh (x² – x – 2)

(x² – x – 2) difaktorkan menjadi (x – 2) (x + 1).

Tahap 1     :       3x⁴ – 2x³ – 10x² + 7x + 1 dibagi dulu dengan (x – 2).

2	3         -2      -10     7        1            6        8       -4         6
	3      4                   -2         3

                   h₁ (x)      = 3x³ – 4x² – 2x + 3

                     = f(2) = 7

                   jadi, f(2) = (x – 2)(3x³ – 4x² – 2x + 3) + 7

Tahap 2     :        3x² – 4² – 2x + 3 dibagi dengan (x + 1), maka :                               

-1	3         4       -2       3                   -3      -1       3
	3         1       -3

                  

                   h₂(x) = 3x² + x – 3

                   h₁ (k₂) = h₁ + 4x² – 2x + 3 = (3x² + x – 3) (x + 1) + 6

Tahap 3 :   Substitusikan (2) ke (1)

                   3x⁴ – 2x³ – 10x² + 7x + 1  = (x – 2) ( 3x² + x – 3) (x + 1) + 6) +7

                                                              = (x +) (x – 2) (x – 2) (3x² + x – 3) + 6(x – 2) +7

                                                              = (x² – x – 2) (3x² + x – 3) + (6x – 5)

                   Jadi, hasil bagi adalah (3x² + x – 3) dan sisa adalah (6x – 5).

4.3   Nilai suku banyak

Suatu sukubanyak berderajat n dapat dinyatakan sebagai fungsi dalam x yang dinyatakan berikut ini :

f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ............... + a1 x + a0

untuk  n  €  C, a_n ≠ 0.

Untuk tiap bilangan k € R, maka f(k) adalah nilai suku banyak yang bersesuaian dengan fungsi f.

Menentukan nilai sukubanyak dapat dilakukan dengan beberapa cara antara lain yaitu:

1.    Cara subsitusi langsung

Cara subsitusi langsung adalah cara paling alamiah untuk menghitung nilai f(k) karena mudah untuk dilakukan . subsitusikan nilai k pada x (menggantinilai x oleh k ), lalu lakukan perhitungan (pangkat, tambah, kali, kuraang) untuk mendapatkan f(k). Misalkan f(x) = ax³ + bx² + cx + d adalah sukubanyak berderajat 3. Untuk setiap k € R, maka f(x) = ak³ + bk² + ck + d adalah nilai sukubanyak untuk k.

Contoh :

Diketahui suku banyak f(x) = x³ – x² – 2x. Tentukan nilai k yang memenuhi f(k) = 0

Jawab :

Jika f(k) = 0,    maka k³ – k² – 2k = 0

↔ k (k²- k - 2 ) = 0

↔ k (k + 1) (k - 2) = 0

↔ k = 0, k = -1, atau k = 2

Jadi,  f(k) = 0 jika k = 0, -1, atau 2.

Menghitung hasil subsitusi suku banyak berderajat tinggi seringkali melibatkan bilangan-bilangan yang sangat besar dan rentan pada ketidaktelitian. Dapat kita katakan bahwa cara subsitusi langsung baik dan efektif hanya pada sukubanyak berderajat rendah, tidak pada derajat yang lebih tinggi.

2.    Cara skema

Kunci utama penyelesaian menentukan nilai sukubanyak dengan cara skema adalah mengubah sukubanyak ke bentuk yang lebih mudah untuk operasi bilangan, lalu mensubtitusikan nilai k yang dicari. Berikut adalah uraian menentukan nilai sukubanyak dengan cara skema untuk suku banyak berderajat 3.

Misalkan f(x) = ax³ + bx² + cx + d sukubanyak berderajat 3, akan ditentukan nilai f(k) untuk k € R.

f (x)      = ax³ + bx² + cx + d

            = (ax² + bx + c)x + d

            = ((ax + b)x + c)x + d

Jadi, f(k) = ((ax + b)x + c)x + d

Dari hasil diatas dapat disimpulkan bahwa f(k) dapat diperoleh dengan langkah – langkah berikut.

1.      Kalikan a dengan k, kemudian hasilnya tambah dengan b, maka diperoleh ak + b.

2.      Kalikan (ak + b) dengan k, kemudian hasilnya tambah dengan c, maka diperoleh (ak + b)k + c.

3.      Kalikan ((ak + b)k + c) dengan k, kemudian haasilnya tambah dengan d, maka diperoleh ((ak + b)k + c)k + d = ak³ + bk² + ck + d.

Dari ketiga langkah diatas, prosesnya adalah mengalikan k dan menambahkan dengan koefisien – koefisien variabel x sehingga diperoleh nilai suku banyak. Tiga langkah diatas secara sederhana dapat diilustrasikan oleh skema berikut.

Koefisien variable x disusun dari pangkat tertinggi sampai terendah

k          a          b                      c                                  d

                                    ak                    ak² + bk                     ak³ + bk² + ck

                                                                                                                                 

                        a          ak + b              ak² + bk + c                ak³ + bk² + ck + d = f (k)

                                                                                                                        ^hasil

keterangan : tanda            berartidikalikan dengan k.

Contoh :

Tentukan nilai f(3) jika diketahui sukubanyak f(x) = 2x³ – 5x² + 3x + 4,

Jawab :

Tulislah koefisien – koefisien variabel x berurutan dari pangkat tertingggi sampai terendah.

                        3          2          -5         3          4

                                                6          3          18

                                    2          1          6          22        = f (3)

Jadi nilai f(3) = 22

4.4     Teorema Sisa

Pada pembagian suku banyak telah dipelajari bahwa persamaan dasar yang menghubungkan antara f(x) dengan g(x), h(x), dan s(x) adalah :

f(x) = g(x) . h(x) . s(x)

dengan            :           f(x) merupakan suku banyak yang dibagi berderajat n,

            g(x) merupakan pembagi berderajat m, m < n,

            h(x) merupakan hasil bagi berderajat (n - m), dan

            s(x) merupakan sisa.

Teorema sisa terdiri dari beberapa teorema, diantaranya :

1.      Teorema 1

Jika suku banyak f(x) dibagi (x - k), maka sisanya adalah f(x).

Bukti :

Suku banyak f(x) dibagi (x - k), sehingga diperoleh persamaan dasar  f(x) = (x - k) . h(x) + s dengan s merupakan konstanta (s berderajat 0, karena pembaginya berderajat 1).

Jika x diganti dengan k, maka

      f(x)       = (k - k) . h(k) + s

                  = 0 + s

                  = s

Jadi,  f(k) = s [terbukti]

Hasil ini dikenal sebagai Teorema Sisa I.

Contoh :

Tentukan sisa pada pembagian (x³ -2x +7) oleh (x + 2)

Jawab : 

(x  + 2) = (x -(-2)), sisa f(s) adalah -2.

Cara Subtitusi                                                                 Cara Skema

                     f (-2) = x³ + 2x + 7                                 -2         1          0          -2         7

                             = (-2)³ – 2 (-2) + 7                                                             

                             = -8 + 4 + 7                                                            -2         4          -4

                             = 3 (sisa)                                                                                              +

       Jadi, sisanya adalah 3.                                          1          -2         2          3          

2.      Teorema 2

Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisanya adalah f()

Bukti :

Sukubanyak f(x) dibagi (ax + b), sehingga diperoleh persamaan dasar f(x) = (ax + b) . h(x) + s, dengan s merupakan konstanta.

Jika x diganti dengan (), maka

f()           = (a() + b) . h() + s

                  = h() . (-b + b) + s

                  = 0 + s

                  = s

Jadi,  f() = s [terbukti]

Hasil ini dikenal sebagai Teorema Sisa II.

Contoh :

Tentukan sisa pada pembagian (4x³ – 2x² + 3) oleh (2x -3)

Jawab :

2x – 3 = 2(x -

Cara I                                                                                     Cara II

f  (x)    = 4x³ – 2x² + 3                                                4         -2          0         3

f   ()   = 4 ()³ – 2 ()² + 3                                                       6           6         9

= 4 () – 2 () + 3                                                                                   

= 12                                                                   4           4          6      12      

Jadi sisanya adalah 12

3.      Teorema 3

Jika suku banyak f(x) dibagi (x - a) (x - b), maka sisanya adalah (x -a) . h₁ (b) + f(a),

Dengan h₁(x) hasil bagi f(x) oleh (x - a).

Bukti :

Sukubanyak f(x) dibagi (x - a) (x - b), sehingga diperoleh persamaan dasar f(x) = (x - a) (x - b) . h(x) + s(x), dengan s(x) fungsi berderajat paling tinggi satu.

Kita akan membuktikan dengan 3 tahap :

Tahap 1 :  jika f(x) dibagi dengan (x - a), maka persamaan dasar dinyatakan dengan f(x) = (x - a) . h₁(x) + s₁, dengan s₁ = f(a).

Tahap 2 :  kemudian h₁(x) dibagi dengan (x - b), maka persamaan dasar dinyatakan dengan h₁(x) = (x - b) . h₂(x) + s₂, dengan s₂ = h₁(b).

Tahap 3 : Subsitusikan h₁(x) pada f(x) sehingga diperoleh

f(x)       = (x - a) [(x - b) h₂(x) + h₁(b)] + f(a)

                             =  (x - a)(x - b) h₂(x) + (x - a) h₁(b) + f(a)

                             = (x - a)(x - b) h₂(x) + [(x - a) h₁(b) + f(a)]

f(x)       = (x - a)(x - b) h₂(x) + s(x)

jadi, s(x) = (x - a) h₁(b) + f(a) merupakan sisa            [terbukti]

Hasil ini dikenal sebagai Teorema Sisa III .

Contoh :

                   Tentukan sisa pada pembagian (2x⁴ + 5x³ – x + 8) oleh (x² + x - x).

                   Jawab :

                   x² + x – 2 difaktorkan menjadi (x + 2)(x - 2)

                   Tahap 1 :  f(x) = 2x⁴ + 5x³ – x +8 dibagi (x + 2) sehingga,

                                    -2         2          5          0          -1         8

                                                4          -2         4          -6                                                                                                                                                         +

                                    2          1          -2         3          2        = f(-2)

 

                                                                                              

Tahap 2 :  h₁(x) = 2x³ + x² – 2x + 3 dibagi (x – 1)

                        1          2          1          -2         3

                                                            2          3          1

                                                                                      +

                                                2          3          1          4       = h₁(1)

                       

Sehingga didapat : s(x)    = (x + 2) . h₁(1) + f(-2)

                                                                        = 4 (x + 2) + 2

                                                                        = 4x + 10

Jadi sisanya adalah 4x + 10.

4.      Teorema 4

Jika suku banyak f(x) dibagi (x - k)(ax - b), maka sisanya adalah [(x – k) . h₁() + f(k)]

Dengan h₁(x) hasil bagi f(x) oleh (x - k).

Bukti :

Suku banyak f(x) dibagi (x - k)(ax - b), sehingga didapat persamaan dasar f(x) = (x  - k)(ax - b) h(x) +  s(x), dengan s(x) fungsi berderajat paling tingggi satu.

Tahap 1 :   f(x) = (x - k) h₁(x) + s₁, s₁ = f(k)

Tahap 2 :   h₁(x) dibagi (ax - b), maka diperoleh

                  h₁(x) = (ax - b) . h₂(x) + s₂, dengan s₂ = h₁()

Tahap 3 :   subsitusikan h₁(x) pada f(x) sehingga didapat

                  f(x)       = (x - k)[(ax - b) . h₂(x) + s₂] + s₁

                              = (x - k)(ax - b) . h₂(x) + (x - k) s₂ + s₁

                                        = (x - k)(ax - b) . h₂(x) + [(x - k) . h₁() + f(k)]

                  Karena f(x) = (x  - k)(ax - b) h(x) +  s(x)

                  Maka s(x) = (x - k) . h₁() + f(k)           [terbukti]

                  Hasil ini dikenal sebagai Teorema Sisa IV.

Contoh :

Tentukan sisa pada pembagian 4x⁴ – 7x² + x + 2 oleh 2x² – x – 3

Jawab :

2x² – x – 3 difaktorkan  menjadi (x + 2)(2x - 3)

Tahap 1 : f(x) = 4x⁴ – 7x² + x + 2 dibagi (x + 1) seperti berikut :

                        -1         4          0          -7         1          2

                       

                                                            -4         4          3          -4

                                                                                              +

                                                4          -4         -3         4          -2         = f(-1)

                       

Tahap 2 : h₁(x) = 4x3 – 4x2 – 3x + 4 dibagi (x - )

                                  4          -4          3          4

                                               

                                                            6          3          0

                                               

4          2          0          4          = h₁

                  

Sehingga diperoleh s(x)    = (x + 1) . h₁() + f(-1)

                                                            = 4(x + 1) + (-2)

                                                            = 4x +2

Jadi sisanya adalah (4x + 2)

4.5 Teorema Faktor

Pengertian Teorema Faktor

Catatan !

Teorema faktor hanya menunjukkan syarat agar suatu sukubanyak p(x) menjadi faktor dari f(x), tetapi tidak memberikan informasi bagaimana mendapatkan faktor itu sendiri.

Teorema Faktor

Misalkan suku banyak f(x) dibagi suku banyak p(x), hasil baginya h(x) dan sisanya s(x), maka dapat ditulis

              F(x) = p(x) . h(x) + s(x)

Jika s(x) = 0, maka f(x) = p(x) . h(x) artinya p(x) membagi f(x), atau dengan kata lain p(x) dan h(x) merupakan faktor dari f(x).

Bukti Jelas

Teorema di atas dapat diturunkan secara khusus untuk pembagi berbentuk (x + k). Akibat teorema faktor, jika f(x) suatu sukubanyak, maka (x – k) merupakan faktor dari f(x), jika dan hanya jika s(x) = f(x) = 0.

Persamaan Suku banyak

Catatan !

Bentuk umum persamaan suku banyak adalah

an xn + an-1 xn-1 + …… + a x1 + a0  =  0, n bila cacah

 

Untuk n = 2, maka bentuk persamaan di atas disebut persamaan kuadrat, jika n = 1 disebut persamaan linear. Jika n > 2, maka persamaan suku banyak sering disebut persamaan pangkat tinggi.

Misalkan f(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + … + a₁x + a_0­

Menurut akibat teorema faktor, (x – k) faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(x) = 0.

Jika (x – k) faktor dari f(x) maka (f(x) = (x – k) . h(x). Jika f(x) = 0 (yaitu a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + …. + a₁ x + a₀  =  0), maka (x – k) . h(x) = 0. Artinya x = k merupakan akar persamaan suku banyak.

A_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + …… + a₁ x + a₀  =  0

Dari uraian diatas kita mempunyai hubungan sebagai berikut :

(x – k) merupakan faktor dari suku banyak f(x) = an Xn + an-1 xn-1 + …… + a1 x + a0 jika dan hanya jika x = k merupakan akar dari persamaan suku banyak f(x) = 0

 

Akar-akar Rasional Persamaan Suku banyak

Menentukan Akar-akar Rasional suatu Persamaan Suku banyak

              Penentuan akar-akar persamaan suku banyak f(x) = 0 berderajat lebih dari atau sama dengan 3 dapat dilakukan melalui percobaan. Misalkan x = k yang mungkin menjadi akar persamaan dan kita coba buktikan dengan cara-cara yang telah kita pelajari. Kita ulangi proses pada hasil bagi persamaan yang diperoleh pada pembuktian sampai semua akar ditemukan.

Dari uraian di atas dapat diketahui bahwa pemilihan calon akar adalah langkah yang penting.

Berikut beberapa petunjuk yang mungkin berguna agar pemilihan calon akar terarah.

1.    Misalkan f(x) = a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + . . . + a₁ x + a₀, dan p merupakan jika ada, pastinya anggota himpunan .

2.    Jika ditemukan sesuatu akar, misalkan x – k, sederhana suku banyak f(x). Misalkan p(x) = (x – k). h(x). Teruskan mencari akar dari h(x) dan begitu seterusnya sampai selesai.

Tentukan akar-akar rasional persamaan x³ + x + 2 = 0

Pada persamaan x³ + x + 2 = 0, a_n = 1 dan a₀ = 2.

       P adalah faktor dari a₀ = 2,p = {± 1, ± 2),

       q adalah faktor dari a_n = 1, q = {± 1}.

Jadi, akar –akar rasional yang mungkin adalah { ± 1, ± 2}.

Misalkan  f(x) = x³ + x + 2, di cari nilai fdari kemungkinan-kemungkinan yang jadi akar telah kita susun.

Untuk x = 1,

1	1         0        1       2                    1        1       2
	1         1       2

Karena f(1) ≠ 0, maka x = 1 bukan akar dari f(x) = 0.

Untuk x = 1-,

-1	1         0        1       2                    1        1       2
	1         1       2

       Karena f₁(x) = 0, maka x = -1 merupakan akar dari f(x) =0.

Kita peroleh persamaan dasar pembagian f(x) = x³ + x + 2 = (x + 1)( x² – x +2).

Misalkan f₁(x) = x² – x + 2, kita cari akar-akar f₁(x) = 0.

Untuk x = 2,

2	1         - 1     2                2     2
	1         1

       Karena f₁(-2) ≠ 0, maka x = 2 bukan akar dari f₁(x) = 0.

Untuk x = -2

-2	1         - 1     2              -2     6
	1         -3

       Karena f₁(-2) ≠ 0, maka x = - 2 bukan akar dari f₁(x) = 0.

Persamaan f(x) dinyatakan dalam bentuk faktor menjadi :

                            x³ + x + 2 = 0

              ó (x + 1) (x²- x 2) = 0

Persamaan x² – x + 2 = 2 0 tidak mempunyai akar rasional.

Jadi, yang merupakan akar rasional persamaan x³ + x + 2 = 0 adalah -1.

Menentukan Akar-akar Mendekati Akar Nyata Persamaan Suku banyak

Akar-akar nyata persamaan suku banyak f(x) = 0 dapat di tentukan dengan mencari absis titik potong grafik fungsi dengan persamaan y = f(x) dengan sumbu X. Misalkan kita punya dua nilai x, yaitu m dan n.

Jika nilai f(m) dan f(n) berlainan tanda, maka akan terdapat sesuatu nilai x sehingga f(x) = 0 diantara m dan f(n) diantara m dan n, yaitu dalam,m < x < n. Misal nilai x  tersebut adalah k, maka nilai  f  bergerak dari positif melewati nol yaitu pada x = k ke negatif atau sebaliknya. Untuk mendapatkan nilai-nilai k, maka diperkirakan nilai m₁ < x < n₁ dalam m < x < n yang tetap mengandung k, dan diuji dengan perhitungan dan penggambaran grafik f(x) pada rentang m₁ < x < n₁. Proses ini terus diulang sehingga didapat rentang m < x < n yang cukup kecil untuk memuat perkiraan nilai k. Seringkali kita peroleh nilai k yang bukan berupa bilangan rasional, sehingga nilai perkiraan k yang kita peroleh disebut akar mendekati akar nyata f(x). Sebelum membahas menentukan akar-akar mendekati akar nyata, terlebih dahulu dibahas menentukan akar-akar rasional dengan menggunakan pendekatan grafik.

BAB III

PENUTUP

A.      SIMPULAN

Barisan dan Deret Aritmatika

U₁, U₂, U₃, U₄, … , U_n disebut barisan aritmatika jika U₂ – U₁ = U₃ – U₂ = … = U_n – U_n-1 = konstanta. Konstanta dalam hal ini disebut beda ( b ).

U_n = a + (n – 1)b dimana : a adalah suku pertama dan b adalah beda.

Deret Aritmatika

Jika diketahui  U₁, U₂, U₃, …, U_n merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmatika, maka U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n disebut deret aritmatika, dengan U_n = a + (n  1)b.

Barisan Geometri

Secara umum dapat dikatakan bahwa barisan: U₁, U₂, U₃, U₄, … U_n merupakan barisan geometri jika:

 =  =  =  =  = konstanta

                                                  

Deret Geometri

Jika U₁, U₂, U₃, …….., U_n merupakan suku-suku dari suatu barisan geometri maka U₁ + U₂ + U₃ + …. + U_n disebut deret geometri, dengan U_n = ar^n-1.

NOTASI SIGMA DAN INDUKSI MATEMATIKA

Notasi Sigma

Notasi     dibaca jumlah  untuk k = 1 sampai dengan k = 6.

1 dan 6 masing-masing disebut batas bawah dan batas atas penjumlahan. Himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6} disebut daerah penjumlahan. 

Dengan demikian,      

 = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6²  

 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 

 = 91

SUKU BANYAK

f(x) = a _n  x ⁿ  +  a _n−1 x ⁿ⁻¹ + a _n−2 x ⁿ⁻² +…+ a₁ x¹  + a 0

dengan :

·           a n , a n−1 , a n−2 , ….,a 2 , a1 , a 0 adalah koefisien - koefisien

       suku banyak yang merupakan konstanta real

dengan a n ≠ 0

·           a 0 adalah suku tetap yang merupakan konstanta real

·           n merupakan pangkat tertinggi dari x.

Operasi Antar Suku banyak

1. Penjumlahan  

2. pengurangan

3. perkalian

4. pembagian

Ø Pembagian suku banyak bentuk panjang

Pembagian suku banyak bentuk panjang menggunakan cara pembagian yang umum pada bilangan.

Ø Pembagian suku banyak cara sintetik (Horner)

menentukan nilai suku banyak f(k) dengan cara skema dapat digunakan untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian f(x) = ax³ + bx² + cx + d dan oleh (x – k). cara inilah yang disebut pembagian suku banyak cara sintetik atau yang bisa disebut cara Horner.

Ø Pembagian suku banyak dengan pembagi (x + k)

Ø  F(x) = (x + k) . h(x) + f(k)

Ø Pembagian suku banyak dengan pembagi (ax + b)

Ø  F(x)  =  (ax + b) .

Pembagian suku banyak dengan pembagi (ax² + bx + c)

F(x) = (ax² + bx + c) . h₂(x) + {(ax – k₁) . h₁ k₂) + f}

Nilai suku banyak

f(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + a_n-2 x^n-2 + ............... + a₁ x + a₀

dapat ditentukan dengan cara :

1.    Cara subsitusi langsung

2.    Cara skema

THEOREMA SISA

f(x) = g(x) . h(x) . s(x)

TEOREMA FAKTOR

Teorema faktor hanya menunjukkan syarat agar suatu suku banyak p(x) menjadi faktor dari f(x), tetapi tidak memberikan informasi bagaimana mendapatkan faktor itu sendiri