kelompok 3 / 2010 / C

BAB I

Pendahuluan

A.            Latar Belakang

KURIKULUM merupakan  sebuah  eksemplar  pengetahuan dan  keterampilan yang harus dikomunikasikan kepada siswa dalam sebuah sistem akademik dan lingkungan sekolah. Secara lebih khusus kurikulum selalu merujuk kepada apa yang tertulis untuk diajarkan, atau apa yang akan diujikan terhadap siswa pada semua jenjang dan  tingkatan  pendidikan. Dari pengujian atau tested itulah kemudian kita memiliki data untuk me-review, apakah efektivitas  sebuah  kurikulum berjalan sesuai dengan perencanaan-nya atau tidak.

Ada banyak  istilah untuk  mengetahui  efektivitas  sebuah  kurikulum. Pertama adalah pengukuran (measurement), sebuah kegiatan yang sistematis untuk menentukan angka pada objek atau gejala. Kedua, pengujian (tested) yang biasanya terdiri dari sejumlah pertanyaan yang memiliki jawaban benar dan salah.

Yang  ketiga, penilaian (assessment), sebuah  proses penafsiran terhadap hasil pengukuran dan  penentuan  pencapaian  hasil belajar.  Adapun yang terakhir adalah evaluasi (evaluation), sebuah proses penentuan nilai suatu program dan penentuan tujuan sebuah program.

Semua bentuk telah dicobakan dalam proses belajar-meng-ajar. Namun kurikulum dalam arti sesungguhnya belum banyak dilakukan, terutama di tingkat pengambil kebijakan maupun institusi pelaksana pendidikan. Me-review kurikulum merupakan sebuah proses untuk mengetahui seberapa besar kebijakan pengembangan kurikulum memengaruhi tujuan-tujuan pendidikan yang  dirumuskan, baik dalam  skala mikro di sekolah  maupun dalam  skala makro secara nasional.

Dengan demikian sangat diperlukan bagi para calon pendidik untuk menempuh mata kuliah Telaah kurikulum matematika menengah supaya mampu dalam dan memahami kurikulum kedepannya.

B.            Tujuan

1.      Mengenal lingkaran

a.       Definisi  lingkaran

b.      Unsur-unsur  lingkaran

c.       Hubungan  Sudut  Pusat  dan Sudut Keliling

d.      Sifat Sudut Keliling

1)      Sudut  Keliling Menghadap Diameter Lingkaran

2)      Sudut – Sudut  Keliling Yang  Menghadap  Busur  yang  Sama

e.        Menghitung Panjang Busur dan Luas Juring Lingkaran

1)      Menghitung  Panjang  Busur  Lingkaran

2)      Menghitung Luas Juring Lingkaran

f.       Hubungan sudut  pusat, panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran

g.      Lingkaran Dalam  Dan Lingkaran  Luar  Segitiga

1)      Lingkaran Dalam  Segitiga

2)      Lingkaran Luar Segitiga

2.      Pengertian Garis Singgung Lingkaran

a)      Sifat Garis Singgung Lingkaran

b)      Melukis Garis Singgung

1)      Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran

2)      Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

c)      Kedudukan Dua lingkaran

1)      Dua Lingkaran Bersinggungan

2)      Dua Lingkaran Berpotongan

3)      Dua Lingkaran Saling Lepas

d)     Garis Singgung Persekutuan Dalam

1)      Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam

2)      Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam

e)      Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang menghubungkan Dua Lingkaran

3.      Persamaan lingkaran

a)      Lingkaran dengan pusat di O ( 0, 0 ) dan melalui titik P ( x, y )

b)      Lingkaran dengan pusat di M ( a, b ) melalui titik P ( x, y )

c)      Bentuk umum Persamaan Lingkaran

d)     Persamaan lingkaran yang menyinggunggaris ax + by + c = 0

e)      Kedudukan garis terhadap lingkaran

f)       Kedudukan titik terhadap lingkaran

g)      Garis Singgung Lingkaran

h)      Persamaan  Umum  Garis  Singgung  Lingkaran

BAB II

PEMBAHASAN

I.        Mengenal  Lingkaran

A.      Definisi

Lingkaran  adalah tempat  kedudukan  titik-titik  yang  berjarak sama dari suatu titik tetap.

B.        Unsur-unsur Lingkaran

1.Titik  pusat  lingkaran
2. Jari-jari  lingkaran
3. Garis tengah  lingkaran  (diameter)
4. Tali  busur
5. Busur
6. Juring  atau  sektor
7. Tembereng
8. Apotema

Keterangan :

1.      Sudut Pusat

Sudut  pusat  adalah  daerah  sudut  yang  dibatas   oleh  dua  jari-jari  lingkaran  yang titik  sudutnya  merupakan  titik  pusat  lingkaran.

Pada gambar lingkaran dengan  pusat titik O,  terdapat AOC yang  dibatasi  oleh  dua  jari-jari  yaitu  OA  dan  OC. AOC  disebut  sudut  pusat.

2.      Jari-jari  lingkaran

 

Jari-jari  lingkaran  Adalah   Ruas  garis  yang  menghubungkan  pusat  lingkaran  ke sebarang  titik  pada  lingkaran .

3.      Garis tengah lingkaran (diameter)

Diameter   lingkaran  adalah  tali busur  yang  merupakan  pusat  lingkaran.

4.      Tali busur

Tali Busur

Tali  busur  lingkaran  adalah  ruas  garis  yang  titik  akhirnya  terletak  pada lingkaran Busur

Busur  adalah  Garis  lengkung  yang  melalui  titik-titik  pada  lingkaran.

Pada  gambar  lingkaran  berpusat  di titik O,  terdapat titik  A  dan  C di keliling lingkaran.  Garis   lengkung   yang   menghubungkan  titik  A  dan  C  disebut  busur  lingkaran.

5.      Juring Lingkaran

Juring   lingkaran  (sektor)  merupakan   daerah   yang  dibatas i  oleh  dua jari-jari  dan  busur  lingkaran.

Pada  gambar  daerah  yang  diarsir   merupakan  juring  lingkaran.

Juring  AOB dibatasi  oleh  dua  jari-jari  OA  dan  OB,  serta  busur  AB.

Pada  sebuah  lingkaran   seperti  tampak  pada

gambar,  terdapat  dua  jenis  busur dalam  dua jenis 

 juring.

Busur  AB  yang  panjangnya  kurang  dari setengah  keliling  lingkaran  disebut  busur kecil  dan  juring  yang   luasnya  kurang  dari  setengah  luas  lingkaran  disebut   juring  kecil.   Sebaliknya  busur  AB  yang   panjangnya   lebih   dari  setengah  keliling  lingkaran  disebut  busur  besar  dan  juring  yang  luasnya  lebih  dari  setengah  luas   lingkaran   disebut  juring besar.

6.   Tembereng

Tembereng  adalah  daerah  lingkaran  yang  dibatasi  oleh  busur  lingkaran  dan  tali  busur  yang melalui  kedua  ujung  busur  lingkaran .

Yang  telah  diarsir  pada gambar berikut:

7.      Apotema

Apotema adalah  ruas  garis  terpendek  yang  menghubungkan pusat  lingkaran  ke  sebuah titik  pada  tali  busur.

Seperti  garis  AE pada gambar berikut ;

8.      Sudut Keliling :

Sudut keliling  adalah  daerah  sudut yang  dibatasi  oleh  dua  tali busur  yang  berpotongan  di  satu  titik  pada  lingkaran  dan  titik  sudutnya  terletak  pada  keliling  lingkaran.

Pada  gambar  lingkaran  berpusat di titik O,  terdapat  dua  tali busur  AB  dan  BC  yang  berpotongan  dan  membentuk  ABC. ABC  merupakan sudut keliling dan  menghadap  busur AC. 

C.          Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Pada gambar  AOB  adalah  sudut  pusat dan  ACB  adalah  sudut  keliling. AOB  dan  ACB  menghadap  busur  yang  sama  yaitu  busur  AB.
Bagaimanakah hubungan  sudut AOB dan ACB ?

Untuk  mengetahui  hubungan  AOB  dan  ACB, buat  garis bantu CD   yang melalui titik O.

Pada gambar  terdapat  dua  segitiga sama kaki,  yaitu
Δ AOC dan Δ BOC. Jika ACO = x^o dan BCO = y^o,
maka CAO = x^o dan CBO =  y^o .
DOA = CAO + ACO  ( sudut luar Δ AOC )
           = x^o   + x^o 
           = 2x^o        

DOB = CBO + BCO  ( sudut luar Δ BOC )
            =  y^o   + y^o 
            =  2 y^o      
            
AOB  = DOA + DOB
             =  2x^o   + y^o 
  AOB = 2  (x^o   +y^o  ), maka :

“Besar sudut pusat adalah dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama, atau besar sudut keliling adalah setengah besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama”

Besar sudut-sudut keliling yang menghadap diameter   lingkaran adalah 90o

D.          Sifat Sudut Keliling

1.      Sudut  Keliling Menghadap Diameter Lingkaran

Pada gambar garis BC merupakan diameter lingkaran dan BOC = 180o, maka :

2.      Sudut – Sudut  Keliling Yang  Menghadap  Busur  yang  Sama

ABE,  ACE dan  ADE adalah sudut-sudut  keliling  yang  mengadap  busur yang  sama,  yaitu  busur AE. AOE adalah  sudut  pusat  yang  juga  menghadap  busur AE, maka : Jadi ABE = ACE = ADE Besar sudut-sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama adalah sama besar.

E.        Menghitung Panjang Busur dan Luas Juring Lingkaran

1.      Menghitung  Panjang  Busur  Lingkaran

Busur  adalah  garis  lengkung  yang  merupakan  bagian  dari  keliling  lingkaran,  maka  untuk  menentukan  panjang  busur  lingkaran  digunakan  perbandingan  dengan  keliling lingkaran adalah 360o , maka akan  terdapat  perbandingan  senilai,  yaitu : lingkarannya

 

. 

2.     

Juring adalah daerah yang merupakan bagian dari daerah (luas) lingkaran, maka untuk menentukan luas juring lingkaran digunakan perbandingan dengan luas lingkarannya. Perhatikan  gambar.  Jika sudut  pusat

Menghitung Luas Juring Lingkaran

F.       Hubungan sudut pusat, panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran

Pada sebuah lingkaran berjari-jari r terdapat dua juring dengan sudut pusat dan panjang busur yang berbeda, yaitu busur AB dan juring AOB dengan sudut pusat AOB = x^o, dan busur CD dan juring COD dengan sudut pusat COD=y^o.
Perbandingan panjang busur AB dan CD adalah :

 

Perbandingan 1 = perbandingan 2                          

G.    Lingkaran Luar Dan Lingkaran Dalam Segitiga

1.      Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga.
Gambar menunjukkan lingkaran luar ΔABC dengan pusat O. OA = O B = OC adalah jari-jari lingkaran dan OP = OQ = OR adalah garis sumbu sisi-sisi segitiga.

2.      Lingkaran Dalam Segitiga

Lingkaran dalam suatu segitiga  adalah  lingkaran  yang  berada  di dalam  segitiga dan  menyinggung  semua  sisi  segitiga tersebut. Titik  pusat lingkaran  merupakan titik  potong  ketiga  garis  bagi sudut segitiga. Gambar berikut menunjukkan lingkaran dalam ΔABC dengan pusat O. Diketahui OP = OQ = OR adalah  jari-jari lingkaran.  Adapun  AD, BE, dan EF  adalah  garis  bagi  sudut  segitiga.

     II.          Pengertian Garis Singgung Lingkaran

1)               Sifat Garis Singgung Lingkaran

Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya. Perhatikan Gambar 7.2 Gambar 7.2(a) memperlihatkan bahwa garis g menyinggung lingkaran di titik A. Garis g tegak lurus jari-jari OA. Dengan kata lain, hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran. Pada Gambar 7.2(b) , titik R terletak di luar lingkaran. Garis l melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik P, sehingga garis l tegak lurus jari-jari OP. Garis m melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik Q, sehingga garis m tegak lurus jari-jari OQ. Dengan demikian, dapat dibuat dua buah garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran.

2)         Melukis Garis Singgung

Sebelum melukis garis singgung lingkaran, pastikan kamu telah memiliki jangka dan penggaris sebagai alat bantu. Perhatikan uraian berikut.

a)      Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran

Sebelumnya telah dijelaskan bahwa garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya. Oleh karena itu, melukis garis singgung lingkaran di titik singgung P sama saja dengan melukis garis yang tegak lurus terhadap jari-jari OP.

Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung lingkaran melalui satu titik pada lingkaran berikut ini

Ternyata, kita hanya dapat membuat satu buah garis singgung lingkaran di titik P. Hal ini membuktikan sifat garis singgung lingkaran pada bagian sebelumnya.

b)                 Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Sekarang, kamu akan melukis garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran. Perhatikan langkah-langkah berikut dengan baik.

3.         Panjang Garis Singgung Lingkaran

Setelah melukis garis singgung lingkaran, sekarang kamu akan menghitung panjang garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran. Perhatikan gambar berikut.

Titik P di luar lingkaran, AP dan BP adalah garis  singgung  lingkaran O dengan  jari-jari OA = OB = r. Garis singgung AP OA dan garis singgung BP OB. AOP dan BOP adalah segitiga siku-siku, panjang AP  dan  BP dapat   dihitung menggunakan teorema  Pythagoras.

Bidang  segi  empat OAPB   yang  berbentuk  layang-layang  dan  disebut  dengan layang-layang  garis  singgung.

Kesimpulan:

Panjang  dua  garis  singgung  yang  ditarik  dari  titik  di  luar  sebuah  lingkaran adalah  sama.

4.      Garis Singgung Dua Lingkaran

Kita tentu  sudah sering melihat sepeda. Apabila kita amati  rantai roda sepeda, tampak  bahwa  rantai  itu  melilit  dua  roda  bergerigi  yang  berbeda  ukuran. Dua roda bergerigi tersebut dapat dianggap sebagai dua lingkaran dan rantai sepeda sebagai garis singgung persekutuan lingkaran.

Dengan demikian, garis singgung persekutuan dapat diartikan sebagai
garis yang tepat menyinggung dua lingkaran.

1.      Kedudukan Dua lingkaran

Secara umum, kedudukan dua lingkaran dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis, yaitu dua lingkaran bersinggungan, berpotongan, dan saling lepas.

a.   Dua Lingkaran Bersinggungan

Perhatikan Gambar 7.3

Gambar 7.3(a)  memperlihatkan  dua  lingkaran  yang  bersinggungan  di dalam. Untuk  kedudukan  seperti  ini  dapat  dibuat  satu buah garis singgung  persekutan luar,  yaitu  k  dengan  titik  singgung  A. Gambar 7.3(b)  memperlihatkan dua lingkaran  yang  bersinggungan  di luar.  Dalam  kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutuan dalam, yaitu n dan dua garis singgung persekutuan luar, yaitu l dan m.

b.       Dua Lingkaran Berpotongan

Dua lingkaran yang berpotongan seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 7.4 mempunyai dua garis  singgung  persekutuan  luar,  yaitu  r  dan s.

c.    Dua Lingkaran Saling Lepas

Gambar 7.5  memperlihatkan dua lingkaran  yang saling  lepas atau terpisah. Dalam kedudukan seperti ini, dapat dibuat  dua  garis  persekutuan  luar, yaitu k dan l dan dua garis  persekutuan dalam, yaitu m dan n.

2.      Garis Singgung Persekutuan Luar

a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar

Misalnya terdapat dua lingkaran saling lepas dengan pusat P dan Q serta jari-jari R dan r. Bagaimana cara melukis garis singgung persekutuan luar dari lingkaran P dan Q tersebut? Pelajarilah langkah-langkah berikut.

3.            Garis Singgung Persekutuan Dalam

a.      Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam

Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran berikut ini.

b.      Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam

Perhatikan gambar berikut ini.

4.   Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang menghubungkan Dua Lingkaran

Pernahkah kamu mengganti rantai roda sepedamu? Bagaimana kamu menentukan agar panjang rantai yang diperlukan tidak terlalu panjang atau terlalu pendek? Jika kamu perhatikan, dua roda gigi sepeda biasa dianggap sebagai dua lingkaran dan rantai yang melilitnya sebagai garis singgung persekutuan luar. Perhatikan gambar berikut ini.

 III.          Persamaan lingkaran

A.       Lingkaran dengan pusat di O ( 0, 0 ) dan melalui titik P ( x, y )

Per hatikan gambar berikut !

Dengan  memperhatikan  definisi  lingkaran  diatas, maka dalam bentuk himpunan  persamaan  lingkaran  dapat  ditulis  sebagai  berikut,

L = { P/ OP = r }

 

Karena ruas  garis  OP  menghubungkan  dua  titik  O  dan P,  maka  panjang  OP  bias  dihitung  dengan  menggunakan  rumus  jarak  yaitu,:



sehingga persamaan lingkaran semula bisa ditulis sebagai :

Untuk  mempermudah  dalam  pemakaian/ perhitungan,  biasanya  rumus  persamaan lingkaran  dengan  pusat  O ( 0, 0 )  dan  melalui  titik P  ( x, y ) dan berjari-jari  r  ditulis  sebagai :

“x 2 + y 2 = r 2 “

 

B.        Lingkaran dengan pusat di M ( a, b ) melalui titik P ( x, y ).

Perhatikan Gambar Berikut !

Jika kita menggeser lingkaran dengan pusat O (0,0) dan melalui P (x,y)sejauh a satuan searah sumbu X dilanjutkan b satuan searah sumbu Y, maka pusat lingkaran berpindah dari O (0,0) ke titik M (a,b) .Dengan cara yang sama kita bisa menuliskan formula persamaan lingkaran yang berpusat di M (a,b) melalalui titik P (x,y) dan berjari-jari r sebagai berikut

Untuk mempermudah dalam pemakaian/ perhitungan biasanya rumus persamaan lingkaran dengan pusat M ( a, b ) melalui titik P ( x, y ) dan berjari-jari r, ditulis sebagai :    ( x – a ) ² + ( y – b ) ² = r ²

C.    Bentuk umum Persamaan Lingkaran

Bentuk  umum  persamaan  lingkaran  yang  berpusat  di sembarang  titik M,  melalui sebuah  titik P  dan  berjari-jari  r  dapat  diturunkan  dari  persamaan  lingkaran  yang berpusat  di M  ( a, b ) melalui  titik P ( x, y )  dan  berjari-jari  r,  sebagai  berikut :

( x – a ) ² + ( y – b ) ² = r ²

x ² – 2ax + a ² + y ² – 2by + b ² = r ²

x ² + y ² – 2ax – 2b y + a ² + b ² - r ²= 0

Jika : -2a = A,, -2b = B, dan a ² + b ² - r ² = C

a= A  ,  b =  B, dan   r = 

maka bentuk “ x ² + y ² – 2ax – 2b y + a ² + b ² - r ²= 0 “ bisa ditulis sebagai

 Bentuk “ x ² + y ² + Ax + B y + C =  0 “ disebut bentuk umum persamaan lingkaran yang mempunyai pusat “ M ( A, B )”,dan jari-jari “ r =  ”

D.       Persamaan lingkaran yang menyinggunggaris ax + by + c = 0

Perhatikan gambar berikut !

Persamaan  lingkaran  yang  berpusat di  M( p, q ) dan  menyinggung  garis  g ax + by + c = 0 bisa  kita peroleh  jika kita bisa menentukan  jarak  pusat lingkaran  ke  garis.  Jarak  pusat  lingk arah  ke  garis  g  merupakan  panjang jari- jari  lingkaran  itu  sendiri.Ingat bahwa  garis  singgung lingkaran selalu  tegak  lurus  jari-jari  lingkaran ) . Dengan  menggunakan  rumus  jarak suatu  titik  ke   sembarang  garis  yang  mempunyai  persamaan  ax + by + c = 0 , kita bisa menentukan panjang jari-jari lingkaran yaitu sehingga persamaan  lingkaran  yang  berpusat  di  M ( p, q ) dan menyinggung  garis   g ax + by + c = 0 mempunyai  persamaan sebagai berikut :

E.        Kedudukan garis terhadap lingkaran

Perhatikan gambar berikut !

Ada  tiga  kemungkinan kedudukan garis lurus  terhadap  lingkaran  yaitu:

1. Garis tidak menyinggung dan tidak memotong lingkaran( lihat garis g).

2. Garis menyinggung lingkaran ( lihat garis h ) di satu titik singgung.

3. Garis memotong lingkaran ( lihat garis j ) di-dua titik.

Untuk  mengetahui  apakah  suatu  garis  lurus  tidak  menyinggung, dan  tidak memotong  lingkaran  ( garis g ),  ataukah garis lurus  menyinggung  lingkaran  (garis h ), atau garis memotong lingkaran  ( garis j ) kita dapat melakukan perhitungan  berikut :

Lingkaran  dengan  persamaan  x ² + y ² = r ² dan garis dengan persamaan y = mx + c .Jika kita substitusikan y ke persamaan lingkaran akan kita peroleh :

x ² + ( mx + c ) ² = r ²

x ² + m²x² + 2mcx + c² = r²

( 1 + m²) x² +2mx + c² – r² = 0 ….( bentuk persamaan kuwadrat/ persamaan kurva ).

Persamaan kurva ini akan menyinggung,memotong, atupun definit, tergantung dari harga diskriminannya ( D ).

Jika D = 0, maka kurva akan menyinggung sumbu x tepat disatu titik.

Jika D > 0, maka kurva akan memotong sumbu x didua titik.

Dan jika D < 0 maka kurva definit ( tidak menyinggung dan tidak memotong ).

Dengan memperhatikan kecenderungan /sifat kurva terhadap sumbu x, kita dapat menganalogkan kedudukan garis ( sumbu X ) terhadap lingkaran ( kurva ) cukup dengan mengetahui nilai diskriminan dari persamaan kuwadrat yang di peroleh.

F.        Kedudukan titik terhadap lingkaran

Perhatikan gambar berikut !

Untuk  mengetahui  suatu  titik  berada  di dalam ,  pada,  dan  diluar  lingkaran, kita cukup  membandingkan  panjang  garis  yang  menghubungkan  titik  tersebut  dengan  pusat  lingkaran  dengan panjang  jari-jari  lingkarannya. Dengan menggunakan  rumus  jarak  yang  menghubungkan  dua  buah  titik ,kita dapat menunjukan bahwa titik P berada didalam lingkaran karena           < OQ = r, titik Q berada  pada  lingkaran karena = r, dan titik R berada diluar lingkaran karena > = r

Dengan demikian jika sebuah titik A ( a, b ) :

1. Berada didalam lingkaran jika nilai dari a ² + b ² < r ²

2. Berada pada lingkaran jika nilai a ² + b ² = r ² dan

3. Berada diluar lingkaran jika nilai a ² + b ² > r ²

Nilai dari a ² + b ² disebut juga “ Kuasa “. Jadi kuasa titik A terhadap lingkaran adalah “ a ² + b ² ”

G.          Garis Singgung Lingkaran

Perhatikan gambar berikut !

Garis  g  menyinggung  lingkaran  yang  berpusat  di O dan berjari-jari  r  dititik  P (x₁, y₁ ) . Garis  g  tegak  lurus  OP  =  r  ( mengapa ? ) sehingga haruslah :

m_op . m _g = -m1 (mengapa?)

 m_OP  = m _g = -1 m _g = …substitusikan ke-persamaan garis g dipoeroleh:

y – y ₁ =  ( x – x ₁ ) ( y – y ₁ ) y ₁ = -x ₁ ( x – x ₁ )

y ₁ y – y ₁ ² = -x ₁x +x ₁ ²

x ₁x + y ₁ y = x ₁ ² + y ₁ ²

Persamaan  x ₁ x + y ₁ y  = r ² adalah  persamaan  garis  singgung  pada  lingkaran  yang  berpusat  di  O ( 0, 0 ) dan  berjari-jari r

x ₁x + y ₁ y = r ²

Garis g MP  sehingga :

m _{MP .} m _g = -1

                       m _g = - 1

      m _g = …           substitusikan ke persamaan garis g :

y – y ₁ = ( x – x ₁ )

              ( y – y ₁ ) ( y ₁ – b ) = - ( x ₁ – a ) ( x – x ₁ )

( y – y ₁ ) ( y ₁ – b ) + r ² = - ( x ₁ – a ) ( x – x ₁ ) + r ² …( kedua ruas ditambah r ²)

( x ₁ – a ) ( x – x ₁ ) + ( y – y ₁ ) ( y ₁ – b ) + ( x₁ –a ) ² + ( y₁ – b ) ² = r ²

 ( x ₁ – a ) ( x – x ₁ ) + ( x₁ –a ) ² + ( y – y ₁ ) ( y ₁ – b ) + ( y₁ – b ) ² = r ²

 ( x ₁ – a ) {( x – x ₁ ) + ( x₁ –a ) } + ( y ₁ – b ) { ( y – y ₁ )+ ( y₁ – b )}= r ²

 ( x ₁ – a ) ( x – a ) +( y ₁ – b ) ( y –b ) = r ²

 ( x – a ) ( x ₁ – a ) +( y –b ) ( y ₁ – b ) = r ²

Persamaan  ( x – a )  ( x ₁ – a ) +( y –b ) ( y ₁ – b ) = r ²

Adalah persamaan garis singgung yang menyinggung lingkaran   

Dengan pusat M ( a, b ) di titik P ( x₁, y₁ )

H.          Persamaan  Umum  Garis  Singgung  Lingkaran

Dari Persamaan ( x – a ) ( x ₁ – a ) +( y –b ) ( y ₁ – b ) = r ² didapat

x₁x – ax – ax₁ + a² + y₁y– by – by₁ +b² – r² = 0

x₁x + y₁y – ax – ax₁ – by – by₁ + a² + b² – r² = 0

x₁x + y₁y – a( x +x₁ ) – b( y +y₁ )+ (a² + b² – r² )= 0

x₁x + y₁y + A( x +x₁ ) + B( y +y₁ )+ C = 0

Bentuk  x₁x + y₁y + A( x +x₁ ) + B( y +y₁ )+ C = 0 adalah persamaan garis singgung 

pada  lingkaran dengan persamaan x² + y² +Ax + By + C = 0,di-titik P(x₁,y₁ )