EKSPONEN
Fungsi eksponen
Eksponen adalah perkalian yang diulang-ulang. Orang menulis eksponen dengan indeks di atas, yang akan terlihat sebagai berikut xy. Bilangan x disebut bilangan pokok, dan bilangan y disebut eksponen. Sebagai contoh, pada 23, 2 adalah bilangan pokok dan 3 eksponen. Untuk menghitung 23 seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga . Hasilnya adalah . Apa yang dikatakan persamaan bisa juga dikatakan dengan cara ini: 2 pangkat 3 sama dengan 8.
Jumlah yang di maksud di sini adalah seperti jumlah ikan di suatu kolam ,jumlah tanaman dan sebagainya yang pada pokonya mencerminkan hubungan matematika antara jumlah terhadap waktu yang mana ada unsur pertumbuhan terhadap jumlah sehubungan dengan waktu yang semakin bertambah.
Definisi lain dari fungsi eksponen adalah sebuah fungsi yang berbentuk. Untuk menentukan penyelesaian persamaan eksponen maka harus menggunakan sifat-sifat fungsi .
Jika a , b € R ,a ≠ 0,m dan n bilangan rasional ,maka sifat-sifat fungsi eksponen adalah:
1) am . an = am + n |
2) (a m)n = a m . n |
3) (a.b)m = a m.b m |
4) a m / a n = a m – n |
5) a - m = 1 / a m |
6) a0 = 1 |
7) a m / n = n√ a m , dengan n adalah bilangan ≠ 1 |
8) a m / b m = (a / b) m |
9) (a m . b n ) p = a m . p .b n. p |
10) (a m / b n) p = a m. p / b n . p |
11) m√ n √ a p = m . n √ a p = a p / m. n |
Contoh :
1.) 5 2 . 5 4 =5 2 + 4 = 5 6 …………sifat 1
2.) 5 6 / 5 3 = 5 6 - 3 = 5 3 ………….sifat 4
3.) (3 2 ) 2 = 3 2 . 2 = 3 4 …………...sifat 2
4.) (2 . 3) 2 = 2 2 . 3 2 ……………..sifat 3
5.) 4 3 / 2 3 = ( 4 / 2 ) 3= 2 3 ………sifat 8
6.) ( 2 3. 3 2 ) 2 = 2 3. 2 . 3 2. 2
= 2 6 . 3 4 …………..sifat 9
7.) 3 – 4 = 1/ 3 4 ……………………..sifat 5
8.) (4 3 / 4 2 )2 = 4 3.2 / 4 2.2
= 4 6 / 4 4 ………….sifat 10
9.) 4 5 x 4 -2 = 4 3 …………………...sifat 2
10.) 6 3/4 : 6 1/4 = 6 3/4 - 1/ 4
= 6 2/4 = 6 1/ 2 ………….sifat 4
11.) (√ x )3 = (x 1/ 2 )3
= x 3 / 2 …………………………..sifat 2
( 3√x )5 = ( x 1/ 3 )5 = x 5/3 ………………..sifat 2
12.) (8 x3 . y 12)1/6
=( 23 )1/ 6 . (x3 )1/6 . ( y 1 / 2 )1/ 6
=2 1/ 2. x 1/ 2 . y 2
= y 2 . √ 2 x ………………………………sifat 9
13.) 3 √ x = x 1/ 3
14.) 8 2/3 = 3√ 8 2 = 4
15.) 10 0 = 1 ……………………………………sifat 6
16.) 6√4√ x 2 = 6. 4√ x 2 = 24√x 2 = x 2 / 24 = x 1/ 12 = 12 √ x ………….sifat 11
Grafik Fungsi Eksponen
|
Grafik fungsi eksponen y = ax
*) sebuah bilangan real positif
*) a ≠ 1
*) Domain f adalah himpunan semua bilangan real.
y = ax : a > 1
Contoh:
Buatlah grafik dari y = 2x!
Jawab:
Buatlah grafik dari y = 2x!
Jawab:
Buatlah tabel yang menunjukkan hubungan antara x dan y = f (x) = 2x . Dalam hal ini pilih nilai x sehingga y mudah ditentukan.
Persamaan Eksponen
A.Persamaan Eksponen Berbentuk a f(x) = a p
a f(x) = a p ↔ f(x) = p
Syarat : a > 0 , a ≠ 1
Contoh :
(3/4)x = 16/9 , tentukan himpunan penyelesaiannya!
Jawab : (3/4)x = (3/4)-2
→ x = -2 .
Jadi , himpunan penyelesaiannya { -2 }
B.Persamaan Eksponen Berbentuk a f(x) = a g(x)
a f(x) = a g(x) ↔ f(x) = g(x)
Syarat : a > 0 , a ≠ 1
Contoh :
25 x+2 = ( 0 , 2 )1-x , tentukan himpunan penyelesaiannya!
Jawab : (5 2)x+2 = (1/5)1-x
52x+4 = (5 -1)1-x
52x+4 = 5-1+x
→ 2x + 4 = -1+ x
2x - x = - 1 - 4
x = -5 .
Jadi , himpunan penyelesaiannya { -5 }
C.Persamaan Eksponen Berbentuk a f(x) = 1
a f(x) = 1 ↔ f(x) = 0
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x+3 = 1
Jawab :
f(x) = x + 3 = 0
x = -3
Jadi , himpunan penyelesaiannya { -3 }.
D.Persamaan Eksponen Berbentuk af(x) = b f(x)
af(x) = bf(x) ↔ f(x) = 0
Syarat : a > 0 , a ≠ 1
b > 0 , b ≠ 1
a ≠ b
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari 43x-15 = 33x-15
Jawab : f(x) = 3x-15 = 0
3x = 15
x = 5
Jadi , himpunan penyelesaiannya { 5 }
E.Persamaan Eksponen Berbentuk af(x) = bg(x)
af(x) = bg(x) ↔ log af(x) = log bg(x)
atau
f(x) . log a = g(x) . log b
Syarat : a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , b ≠ 1 , a ≠ b
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari 2x+3 = 32x
Jawab : log 2x+3 = log3 2x
( x+3 ) log2 = ( 2x ) log3
x log2 + 3 log2 = 2x log3
x log2 – 2x log3 = -3 log2
x ( log2 – 2 log3 ) = log 2-3
x ( log2 – log 32 ) = log 1/8
x log2/9 = log 1/8
x = log 1/8/log 2/9
= 2/9 log 1/8
F.Persamaan Eksponen Berbentuk h(x)f(x) = h(x)g(x)
h(x)f(x) = h(x)g(x) Ò 1. f(x) = g(x)
2. h(x) = 1
3. h(x) = 0 , f(x) > 0 , g(x) > 0
4. h(x) = -1 , f(x) dan g(x)
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari (2x-5) x2+1 = (2x-5) x+7
Jawab :
· Kemungkinan I
f(x) = g(x)
x2 + 1 = x + 7
x2 – x – 6 = 0
( x – 3 ) ( x +2 ) = 0
x = 3 V x = -2
· Kemungkinan II
h(x) = 1
2x – 5 = 1
2x = 6
x = 3
· Kemungkinan III
h(x) = 0
2x – 5 = 0
x = 5/2
f ( 5/2 ) = ( 5/2 )2 + 1 = 29/4 > 0
g ( 5/2 ) = ( 5/2 ) +7 = 15/2 > 0
· Kemungkinan IV
h(x) = -1
2x – 5 = -1
2x = 4
x = 2
f( 2 ) = 2 2 + 1 = 5 ( ganjil )
g ( 2) = 2 + 7 = 9 ( ganjil )
Jadi , himpunan penyelesaiannya { -2 , 2 , 5/2 , 3 }
G.Persamaan Eksponen Berbentuk f(x)h(x) = g(x)h(x)
f(x)h(x) = g(x)h(x) Ò 1. f(x) = g(x)
2. h(x) = 0 , f(x) ≠ 0 , g(x) =0
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari
(x2 + 2x – 3)x2 – 4 = (x2 + 3x – 10)x2 – 4
Jawab : f(x) = x2 + 2x – 3
g(x) = x2 + 3x - 10
h(x) = x2 – 4
· Kemungkinan I
f(x) = g(x)
x2 + 2x – 3 = x2 + 3x - 10
-x = -7
x = 7
· Kemungkinan II
h(x) = 0
x2 – 4 = 0
x2 = 4
x = ± 2
→ f(2) = 22 + 2 . 2 – 3 = 5 ≠ 0
g(2) = 22 + 3 . 2 – 10 = 0
→ f(-2) = (-2)2 + 2 . - 2 – 3 = -3 ≠ 0
g(-2) = (-2)2 +3 . – 2 -10 = -3 ≠ 0
x = -2 memenuhi
Jadi , himpunan penyelesaiannya { -2 , 7 }
H.Persamaan Eksponen Berbentuk a( pf(x) )2 + b.pf(x) +c =0
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari 22x + 2x+1 = 8
Jawab : 22x + 2x+1 = 8
(2x)2 + 2x . 21 – 8 = 0
Misal : 2x = y
→ y2 + 2y – 8 = 0
( y+4 ) (y-2) = 0
y = -4 V y = 2
2x = -4 V 2x = 2
x = 1
Jadi , himpunan penyelesaiannya { 1 }
I. Persamaan Eksponen Berbentuk f(x)g(x) = 1
f(x)g(x) = 1 Ò 1. f(x) = 1
2. g(x) = 0 , syarat f(x) ≠ 0
3. f(x) = -1 , syarat g(x) genap
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari ( 2x+7 )x-1 = 1
f(x) = 2x+7
g(x) = x-1
· Kemungkinan I
f(x) = 1
2x+7 = 1
2x = -6
x = -3
· Kemungkinan II
g(x) = 0
x – 1 = 0
x = -1
Untuk x = 1
f(1) = 2 . 1 + 7
= 9 ≠ 0
x = 1 memenuhi
· Kemungkinan III
f(x) = -1
2x + 7 = -1
2x = -8
x = -4
Untuk x = -4
9 (-4) = -4 – 1
= -5
Jadi , himpunan penyelesaiannya { -3 , 1}
Pertidaksamaan Eksponen
Sebelumnya kita telah mengetahui sifat-sifat fungsi eksponen , yaitu sebagai berikut :
• Untuk a > 1 , fungsi f(x) = ax merupakan fungsi naik
Artinya : untuk setiap X1 , X2 Є R berlaku X1< X2
jika dan hanya jika f(X1) < f(X2)
• Untuk 0 < a < 1 , fungsi f(x) = ax merupakan fungsi turun
Artinya : untuk setiap X1 , X2 Є R berlaku X1 , X2
jika dan hanya jika f(X1) > f(X2)
Sifat-sifat ini berguna untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen.
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x+2 > 16x-2
Jawab : 2x+2 > 16x-2
2x+2 > 24(x-2)
x + 2 > 4 ( x-2 ) … a > 1,maka fungsi naik
x + 2 > 4 x – 8
3x < 10
x < 10
3
Jadi , himpunan penyelesaiannya { x׀x < 10 , X Є R }
3
LOGARITMA
Definisi Logaritma
Apabila bx = N, dimana N adalah bilangan positif dan b adalah bilangan positif yang ≠ 1, maka eksponen x adalah logaritma N dengan bilangan pokok b, dan ditulis
x = blog N.
b : bilangan pokok atau basis logaritma
N: numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya
x : hasil logaritma
N: numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya
x : hasil logaritma
Sifat – Sifat Logaritma
1. a x = M | ||
2. a log M = x | ||
3. a log 1 = 0 Ò karena a 0 = 1 | ||
4. a log a = 1 Ò karena a 1 = a | ||
5. a a log M = M Ò misal : a log M = x , maka a x = M a a log M = a x = M | ||
6. a log ar = r Ò a log a = 1 , maka a log a r = r alog a = r 1 = r | ||
7. a log MN = a log M + a log N Ò misal : a log M = A ; a log N = B , sehingga a A = M ; a B = N jadi, a log MN = a log (a A . a B) = a log a A+B = A + B = a log M + a log N | ||
8. a log M = a log M – a log N N Ò misal : a log M = P ; a log N = Q , sehingga a P = M ; a Q = N jadi, a log M = a log a P N a Q = a log a P - Q = P - Q = a log M - a log N | ||
9. a log 1 = - a log N N Ò misal : a log 1 = A ; a log N = B , sehingga a A = 1 ; a B = N jadi, a log 1 = a log a A N a B = a log a A - B = A - B = a log 1 - a log N = 0 - a log N = - a log N | ||
10. a log M r = r. a log M Ò misal : a log M = x , maka a x = M jadi, a log M r = a log a (x)r = r x = r a log M | ||
Penyelesaian Persamaan Eksponen a f(x) = b dan a f(x) = b g(x)
Persamaan – persamaan eksponen yang berbentuk
a f(x) = b dan a f(x) = b g(x) , dengan a ≠ b
tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat – sifat eksponen. Persamaan – persamaan itu dapat diselesaikan dengan cara mengambil logaritma pada masing – masing ruas persamaan. Kemudian, diterapkan sifat 10, yaitu :
a log M r = r a log M
Contoh Soal :
Tentukan penyelesaian dari persamaan 2 3x+1 = 6 x+2
Jawab :
2 3x+1 = 6 x+2
log 2 3x+1 = log 6 x+2
(3x + 1) log 2 = (x + 2) log 6
3x log 2 + log 2 = x log 6 + 2 log 6
3x log 2 – x log 6 = 2 log 6 – log 2
x (3 log 2 – log 6) = 2 log 6 – log 2
x = 2 log 6 – log 2
3 log 2 – log 6
Jadi, penyelesaian persamaan 2 3x+1 = 6 x+2 adalah x = 2 log 6 – log 2
3 log 2 – log 6
Grafik Fungsi Logaritma
A. Menggambar grafik fungsi logaritma dengan basis a > 1
Sifat-sifat fungsi logaritma f : x → a log x (dengan basis a > 1) dapat dipelajari melalui grafik fungsi logaritma y = f(x) = a log x.
Contoh :
Lukislah grafik fungsi logaritma y = f(x) = 2 log x (x > 0 dan x є R).
Jawab :
Grafik fungsi logaritma itu dilukiskan dengan langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1
Buatlah tabel yang menunjukkan hubungan antara x dengan y = f(x) = 2 log x. Perhatikan tabel a.
Tabel a
x | → 0 | … | 1/8 | ¼ | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8 | … | → ∞ |
y | → - ∞ | … | - 3 | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … | → ∞ |
Langkah 2
Setiap titik (x,y) yang diperoleh pada Langkah 1 digambar pada bidang Cartesius.
Selanjutnya setiap titik (x,y) tersebut dihubungkan dengan kurva mulus sehingga
diperoleh grafik fungsi logaritma y = f(x) = 2 log x sebagaimana diperlihatkan
pada Gambar 7-6.
Berdasarkan gambar 7-6, kita dapat mempelajari perilaku dan sifat-sifat fungsi logaritma y = f(x) = 2 log x sebagai berikut.
1. Jika nilai x bertambah besar maka nilai y = f(x) = 2 log x juga menjadi besar, tetapi
pertambahan nilai y lebih lambat dibandingkan dengan pertambahan nilai x.
2. Fungsi logaritma y = f(x) = 2 log x adalah fungsi monoton naik, sebab grafik ini
naik dari kiri bawah ke kanan atas.
B. Menggambar grafik fungsi logaritma dengan basis 0 < a < 1
Sifat-sifat fungsi logaritma f : x → a log x (dengan basis 0 < a < 1) dapat dipelajari melalui grafik fungsi logaritma y = f(x) = a log x.
Contoh :
Lukislah grafik fungsi logaritma y = f(x) = ½ log x (x > 0 dan x є R).
Jawab :
Langkah-langkah untuk melukis grafik fungsi logaritma ini sama seperti langkah -langkah untuk melukis grafik fungsi y = f(x) = 2 log x.
Langkah 1
Buatlah tabel yang menunjukkan hubungan antara x dan y = f(x) = ½ log x. Perhatikan tabel b berikut.
Tabel b
x | → 0 | … | 1/8 | ¼ | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8 | … | → ∞ |
y | → - ∞ | … | 3 | 2 | 1 | 0 | - 1 | - 2 | - 3 | … | → ∞ |
Langkah 2
Tiap titik (x,y) yang diperoleh pada Langkah 1 digambar pada bidang Cartesius.
Kemudian tiap titik (x,y) tersebut dihubungkan dengan kurva mulus sehingga
diperoleh grafik fungsi logaritma y = f(x) = ½ log x sebagaimana diperlihatkan
pada gambar 7-7.
Berdasarkan gambar 7-7, beberapa sifat fungsi logaritma y = f(x) = ½ log x dapat disebutkan sebagai berikut.
1. Jika nilai x bertambah besar maka nilai y = f(x) = ½ log x semakin kecil dengan
pengurangan yang semakin melambat.
2. Fungsi logaritma y = f(x) = ½ log x adalah fungsi monoton turun, sebab grafik
fungsi ini turun dari kiri atas ke kanan bawah.
C.Hubungan antara grafik fungsi f : x→ a log x dan grafik fungsi g : x→ 1/a log x
Grafik fungsi logaritma y = f(x) = 2 log x dan grafik fungsi logaritma
y = f(x) = ½ log x masing-masing telah digambarkan pada gambar 7-6 dan 7-7.
Jika grafik kedua fungsi itu digambarkan pada sebuah bidang Cartesius maka
diperoleh grafik seperti pada gambar 7-8.
Berdasarkan gambar 7-8, tampak bahwa terdapat hubungan antara grafik
fungsi logaritma y = f(x) = a log x dengan gafik fungsi logaritma y = f(x) = 1 /alog x.
Hubungan itu dapat diungkapkan sebagai berikut.
Grafik fungsi logaritma y = f(x) = a log x dan grafik fungsi logaritma y = f(x) =
1 / a log x setangkup atau simetri terhadap sumbu x.
Ini berarti grafik fungsi logaritma y = f(x) = a log x dapat diperoleh dari grafik
fungsi logaritma y = f(x) = 1 / a log x dengan cara mencerminkan atau
merefleksikan terhadap sumbu x dan sebaliknya.
Dalam bahasa transformasi geometri dapat diungkapkan sebagai berikut.
Grafik fungsi logaritma y = f(x) = a log x adalah bayangan dari grafik fungsi logaritma y = f(x) = 1 / a log x oleh transformasi geometri refleksi terhadap sumbu X dan sebaliknya.
D. Hubungan antara grafik fungsi f : x → a x dan grafik fungsi g : x → a log x
Perhatikan grafik berikut.
Gambar a adalah grafik fungsi eksponen y = f(x) = 2x dan grafik fungsi logaritma
y = g(x) = 2 log x sedangkan gambar b adalah grafik fungsi eksponen
y = f(x) = (1/2)x dan grafik fungsi logaritma y = g(x) = ½ log x.
Berdasarkan fakta pada gambar a dan b, kita dapat menentukan hubungan antara
grafik fungsi eksponen y = f(x) = ax dengan grafik fungsi logaritma y=g(x)=a log x.
Secara umum, hubungan itu dapat diungkapkan sebagai berikut.
Grafik fungsi eksponen y = f(x) = ax dan grafik fungsi logaritma
y = g(x) = a log x setangkup atau simetri terhadap garis y = x.
Ini berarti grafik fungsi eksponen y = f(x) = ax dapat diperoleh dari grafik fungsi logaritma y = g(x) = a log x dengan cara mencerminkan atau merefleksikan terhadap garis y = x dan sebaliknya.
Dengan demikian, fungsi eksponen y = f(x) = ax adalah fungsi invers dari fungsi logaritma y = g(x) = a log x dan sebaliknya
Dalam bahasa transformasi geometri, pernyataan di atas dapat diungkapkan sebagai berikut.
Grafik fungsi eksponen y = f(x) = ax adalah bayangan dari grafik fungsi logaritma y = g(x) = a log x oleh transformasi geometri refleksi terhadap garis y = x dan sebaliknya.
Persamaan Logaritma
Persamaan Logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variabel x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel x.
Dalam pasal - pasal berikut ini akan dibahas beberapa macam bentuk persamaan logaritma disertai cara – cara menentukan penyelesaiannya.
A. Bentuk a log f(x) = a log p
Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma a log f(x) = a log p dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut :
Jika a log f(x) = a log p maka f(x) = p asalkan f(x) > 0
Contoh :
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.
2 log (x - 2) + 2 log (x – 3) = 1
Jawab :
2 log (x - 2) + 2 log (x – 3) = 1 2 log (x - 2) + 2 log (x – 3) = 1 Syarat bagi numerus : n 2 log (x - 2)(x – 3) = 2 log 2 * x – 2 > 0 atau x > 2 n (x - 2)(x – 3) = 2
* x – 3 > 0 atau x > 3 n x2 – 5x + 4 = 0
Sehingga syarat itu mengharuskan x > 3 n x = 1 atau x = 4
Dari persyaratan numerus mengharuskan x > 3, sehingga nilai x yang memenuhi persamaan logaritma itu adalah x = 4.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {4}.
B. Bentuk alog f(x) = blog f(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma alog f(x) = blog f(x) (dengan
a ≠ b) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika alog f(x) = blog f(x) (dengan a ≠ b) maka f(x) = 1
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.
2 log (x2 – x + 1) = 5 log ( x2 – x + 1)
Jawab :
2 log (x2 – x + 1) = 5 log (x2 – x + 1)
x2 – x + 1 = 1
x2 – x = 0
x(x – 1) = 0
x = 0 atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, 1}.
C. Bentuk a log f(x) = a log g(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma a log f(x) = a log g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a log f(x) = a log g(x) maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.
log (x – 1) + log (x – 2) = log (3x + 2)
Jawab :
log (x – 1) + log (x – 2) = log (3x + 2) log (x – 1) + log (x – 2) = log (3x + 2)
Syarat bagi numerus : n log (x – 1)(x – 2) = log (3x + 2)
* x – 1 > 0 atau x > 1 n (x – 1)(x – 2) = 3x + 2
* x – 2 > 0 atau x > 2 n x2 – 3x + 2 = 3x + 2
* 3x + 2 > 0 atau x > - 2 n x2 – 6x = 0
3 n x(x – 6) = 0
Sehingga syarat ini mengharuskan x > 2 n x = 0 atau x = 6
Dari persyaratan numerus mengharuskan x > 2, sehingga penyelesaian persamaan logaritma itu adalah x = 6.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {6}.
D. Bentuk h(x) log f(x) = h(x) log g(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma h(x) log f(x) = h(x) log g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika h(x) log f(x) = h(x) log g(x) maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya
positif serta h(x) > 0 dan h(x) ≠ 1.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.
2x – 5 log (2x + 1) = 2x – 5 log (x + 4)
Jawab :
2x – 5 log (2x + 1) = 2x – 5 log (x + 4)
2x + 1 = x + 4
x = 3
Untuk x = 3, bentuk (2x + 1) dan (x + 4) positif, tetapi bentuk 2x – 5 bernilai 1.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah Æ atau { }.
E. Bentuk A {a log x}2 + B {a log x} + C = 0
Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma A{a log x}2 +B {a log x} + C = 0 (a > 0 dan a ≠ 1, A, B dan C bilangan real dan A ≠ 0) dapat ditentukan dengan cara mengubah persamaan logaritma itu menjadi persamaan kuadrat. Jika diambil pemisalan a log x = y maka persamaan logaritma tersebut dapat dinyatakan dalam persamaan kuadrat dengan variabel y sebagai Ay2 + By + C = 0. Nilai-nilai y yang didapat dari persamaan kuadrat itu disubstitusikan kembali pada pemisalan, sehingga didapat persamaan logaritma a log x = y. Dari persamaan a log x = y inilah nilai-nilai x dapat ditentukan. Agar lebih jelasnya, simaklah contoh berikut ini.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 log x 1+2 log x = 2
Jawab :
2 log x 1+2 log x = 2
(1 + 2 log x) 2 log x = 2
{2 log x}2 + {2 log x} – 2 = 0
Misalkan y = 2 log x, maka persamaan logaritma menjadi
y2 + y – 2 = 0
(y + 2)(y – 1) = 0
y = - 2 atau y = 1
* Untuk y = - 2, didapat * Untuk y = 1, didapat
2 log x = - 2 n x = 2 -2 = ¼ 2 log x = 1 n x = 2 1 = 2
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah { ¼ , 2 }
Pertidaksamaan Logaritma
Pertidaksamaan Logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variabel x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel x.
Penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi logaritma standar. Sifat – sifat ini dapat diungkapkan sebagai berikut.
A. Sifat Fungsi Logaritma Monoton Naik (a > 1)
* Jika a log f(x) ≥ a log g(x) maka f(x) ≥ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0
* Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka f(x) ≤ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0
B. Sifat Fungsi Logaritma Monoton Turun (0 < a < 1)
* Jika a log f(x) ≥ a log g(x) maka f(x) ≤ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0
* Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka f(x) ≥ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0
Untuk lebih jelasnya, simaklah contoh berikut.
Contoh : Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut ini.
log (x2 + 4x + 4) ≤ log (5x + 10)
Jawab :
log (x2 + 4x + 4) ≤ log (5x + 10)
(i) Penyelesaian pertidaksamaan : (ii) Syarat numerus :
x2 + 4x + 4 ≤ 5x + 10 * x2 + 4x + 4 > 0
x2 – x – 6 ≤ 0 (x + 2)2 > 0 → berlaku untuk semua
(x + 2)(x – 3) ≤ 0 x є R dan x ≠ - 2
- 2 ≤ x ≤ 3 * 5x + 10 > 0 → x > - 2
Dengan menggabungkan hasil (i) dan (ii), diperoleh - 2 < x ≤ 3 (perhatikan diagram garis bilangan pada Gambar a).
(i)
-2 3
(ii)
-2
-2 - 2 < x ≤ 3
Gambar a
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan log (x2 + 4x + 4) ≤ log (5x + 10) adalah - 2 < x ≤ 3
Tidak ada komentar:
Posting Komentar