kelompok 5 / 2010 / A

BAB I

Pendahuluan

1.1  Latar Belakang Masalah

    Teori tentang matriks pertama kali dikembangkan oleh Arthur Cayley (1821– 1895), Beliau mengembangkan matrik pada tahun 1857. Pembahasan tentang matrik sangat diperlukan untuk mempelajari materi lain dalam matematika antara lain : determinan dan transformasi geometri. Adapun metode determinan ditemukan oleh Seki Kowa (1642–1708) pada 1683 di Jepang dan ditemukan pula oleh Gottfried Wilhelm Von Leibnitz (1646– 1716) di Jerman.

Matriks merupakan salah satu cara untuk mempermudah penyelesian sistem persamaan linier. Dalam kehidupan sehari-hari, matrik sangat membantu dalam mencatat hal-hal yang berhubungan dengan jajaran bilangan, dengan cara penyelesaian yang menggunakaan operasi yang ada di dalam matrik, operasi tersebut antara lain : Transpose, penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, dan juga perkalian matriks.

Oleh karena itu matrik sangat diminati karena penyajian data atau informasi numerikal dengan cara ini sangat efisien. Dalam matematika sendiri matrik menjadi suatu alat yang sangat fleksibel, dinamis dan beberapa bidang kajian matematis dapat menerapkan matriks.

1.2  Rumusan Masalah

Dari uraian di atas maka di pandang perlu bagi  kita untuk memahami materi tentang matriks diantaranya :

1.     Apa pengertian tentang matriks?

2.     Bagaimana Notasi dan ordo matriks?

3.     Apa saja jenis - jenis matriks?

4.     Bagaimana operasi tentang matriks?

5.     Apa determinan dan invers?

1.3  Tujuan Pembahasan

Dalam rumusan masalah diatas terdapat beberapa tujuan dan manfaat diantaranya :

1.  Memahami pengetian tentang matriks.

2.  Mengerti tentang jenis – jenis matriks.

3.  Mengenal tentang notasi dan ordo matriks.

4.  Memahami operasi – operasi yang ada pada matriks.

5.  Mengerti tentang Determinan dan invers matriks.

BAB II

Pembahasaan

2.1  Pengertian Matriks

Untuk memahami pengertian tentang matriks, perhatikan contoh  berikut. Seorang siswa mencatat hasil ulangan hariannya untuk pelajaraan matematika, Kimia, Fisika, dan Biologi.

Mata Pelajaraan	Ulangan I	Ulangan II	Ulangan III	Ulangan IV
Matematika	7	8	8	9
Kimia	8	6	9	7
Fisika	8	7	6	9
Biologi	9	7	6	8

Tabel di atas dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana.

  Atau                                                    

Dalam membaca tabel di atas, siswa itu tidak pernah keliru karena dia sudah tahu bahwa baris pertama adalah nilai Matematika, Baris ke dua nilai Kimia, Baris ketiga nilai Fisika, dan Baris ke empat nilai Biologi. Untuk kolom pertama menyatakan nilai ulangan I, Kolom ke II menyatakaan nilai ulangan II, Kolom ke tiga menyatakaan nilai ulangan III, Kolom ke empat menyatakaan nilai ulangan IV.  

Dengan demikian dapat disimpulkan pengertian matriks adalah kumpulan angka – angka (elemen/anggota) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk  persegi panjang dan diantara kurung buka dan tutup dimana panjangnya dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolam dan baris – baris.

Baris ke - 1

Baris ke - 3

Kolom ke - 1

Kolom ke - 2

Kolom ke - 3

Kolom ke - 4

Baris ke - 1

 Matriks merupakan suatu cara visualisasi variabel yang merupakan kumpulan dari angka-angka atau variabel lain. Bilangan – bilangan atau huruf – huruf yang ada di dalam matriks disebut elemen – elemen atau unsur – unsur matriks. Setiap susunan horisontal (mendatar) disebut baris, sedangkan susunan vertikal (berdiri) disebut kolom atau lajur. Hal ini dapat dilihat dengan mudah pada diagram berikut.

Baris ke - 4

Baris ke - 2

            

 2.2 Notasi dan Ordo Matriks

Setelah mengenal cara menyusun sebuah daftar dalam matriks, marilah kita memahami definisi dan istilah-istilah lain yang digunakan di dalam sebuah matriks. Notasi matriks diberi nama dengan huruf kapital seperti A,B,C. Sebuah matriks m x n  elemen dengan m baris dan n kolom dikatakatakan sebagai matriks berukuraan m x n. Ukuran matriks m x n sering disebut ordo matriks. Matriks yang berordo m x n dapat ditulis A_mxn. Elemen-elemen sebuah matriks di beri nama huruf kecil . Misalnya, elemen matriks a_ij menyatakan elemen matriks A pada baris ke-i kolom ke-j . Matriks A yang berordo m x n dapat dituliskn bentuk umum sebagai A = ( a_ij ), atau

 

2.3  Jenis-jenis Matriks

Ø  Berdasarkan ordonya terdapat jenis matriks antara lain.

1.       Matriks Bujur sangkar/ Persegi.

Diagonal samping

Matriks bujur sangkar / persegi adalah suatu matriks dengan banyak baris dan kolom yang sama. Jika banyaknya baris pada matriks A adalah n maka banyaknya kolom juga n. Sehingga ordo matriks A adalah n x n. Seringkali matriks A disebut matriks ordo n. Elemen-elemen a_11,a_22,a_33,.....,a_nn disebut elemen-elemen pada diagonal utama / diagonal pertama.

Diagonal samping

2.       Matriks Baris

Matriks baris adalah suatu matriks yang terdiri atas satu baris saja. Misalnya:

P =

Q =

3.       Matriks kolom

Matriks kolom adalah suatu matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Misalnya :

R =         Q =        S =

4.       Matriks Tegak

Matrik Tegak adalah matriks berordo m x n dengan m > n

Misalnya :

A =   , A Berordo 3 x 2 sehingga matriks A tampak tegak.

5.       Matriks datar

    Matriks Datar adalah matriks berordo m x n dengan m < n

Misalnya:

A =  , A Berordo 2 x 3 sehingga matriks A tampak datar.

Ø  Berdasarkan elemen – elemen penyusunnya terdapat jenis matriks.

1.       Matriks Nol

Matriks Identitas terhadap penjumlahaan matriks adalah matriks nol, yaitu suatu matriks yang semua elemenya 0 ( nol ).

Matriks nol biasanya dinotasikan dengan huruf O diikuti ordonya O_m-n. Misalnya :

O_2X1=               O_3x2 =                   

2.       Matriks Diagonal

Matriks Diagonal adalah matriks persegi dengan semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah 0 (nol ) dan dinotasikan sebagai D. Misalnya :

D_2X2 =        D_3X3 =

3.       Matriks Skalar

Matriks Skalar yaitu matriks diogonal dengan semua elemen pada diagonalnya sama. Misalnya :

D_4X4 =    

4.       Matriks Simetri

Matriks Simetri yaitu matriks persegi, yang setiap elemenya seleain elemen diagonal, adalah simentri terhapan diagonal utama.

Misalnya :

F_2x2 =        

5.     Matriks Simetri Miring

Matriks Simetri miring adalah matriks simentri yang elemen – elemenya selain elemen diagonal, saling berlawanan. Misalnya :

A_3x3 =

6.       Matriks Identitas

Matriks Identitas adalah yang dimaksud dalam pembahasan ini adalah matriks identitas terhadap perkalian. Matriks Identitas adalah matriks persegi dengan semua elemen pada diagonal utama adalah 1 ( satu ) dan elemen lainya semuanya 0 ( nol ). Pada umumnya, matriks identitas dinotasikan dengan I dan disertai dengan ordonya. Misalnya :

I₂ =             I_{3 =}                          I₄=

7.       Matriks Segitiga Atas

Adalah matriks bujur sangkar yang elemennya a_ij = 0 untuk i lebih besar j. Misalnya :

Kesimpulan :

‘ Karena membentuk   diatas maka di sebut matriks segitiga atas’

8.       Matriks Segitiga Bawah

A adalah matriks bujur sangkar yang elemennya a_ij = 0 untuk i lebih kecil j.

Misalnya :

2.4  Transpose Suatu Matriks

Transpose matrik A yang berordo m x n adalah sebuah matriks berordo n x m yang di peroleh dari matriks A dengan menukar elemen baris menjadi elemen kolom dan sebaliknya. Notasi transpose matrik A adalah A^T. Misalnya :

A_3x2=  , maka A^T= . Perhatikan bahwa ordo dari A^T adalah 2  3

2.5  Kesamaan Dua Matriks

Coba perhatikan bahwa :

1.       4 = 4;

2.       8 = 2³;

3.       3 + 5 = 8;  

Contoh – contoh di atas merupakan suatu kesamaan. Tampak bahwa bilangan di ruas kiri dan ruas kanan mempunyai nilai yang sama.

Sekarang, coba perhatikan matriks ruas kiri dan ruas kanan berikut.

1.      

2.      

Kedua contoh di atas adalah contoh dua buah matriks yang sama. Tampak bahwa elemen – elemen seletak dari matriks yang berada di ruas kiri dan matriks yang berada di ruas kanan adalah sama. Matriks di ruas kiri dan kanan juga mempunyai ordo yang sama. Selain itu juga dapat menentukan kesamaan matriks berordo 3  3, 3  2, atau lebih dengan dua ciri diatas.

Jadi, dapat dikatakan sebagai berikut.

“ Dua buah matrik A dan B dikatakan sama, di tulis A = B jika matriks A dan B mempunyai ordo yang sama dan semua  elemen-elemenya yang seletak bernilai sama ”.

Elemen yang seletak adalah elemen yang mempunyai nomor baris dan nomor kolom yang sama.

2.6  Operasi Matriks dan Sifat – sifatnya

1.           Penjumlahan Matriks

Jumlah matriks A dan B, ditulis matriks A + B, didefinisikan sebagai sebuah matriks C =  yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen – elemen  yang seletak dari matriks A dan B. Dengan melihat definisi di atas maka syarat agar dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan adalah matriks – matriks tersebut mempunyai ordo yang sama. Misalnya :

Jika  dan

Maka,

 

2.            Pengurangan Matriks

a.       Lawan Suatu Matriks

Lawan suatu matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan lawan dari elemen-elemen matriks A. Secara lebih jelas, dari suatu matriks A =  dapat dibentuk lawan matriks yang ditulis dengan –A sehingga –A =  .

Misalnya :

Jika , lawan matriks A adalah

b.      Pengurangan Matriks

Pengurangan matriks A dengan B, ditulis A – B, didefinisikan sebagai sebuah matriks C =  yang diperoleh dengan mengurangkan setiap elemen matrik A dengan elemen matriks B yang seletak. Karena pengurangan pada dasarnya sama dengan penjumlahan terhadap lawan bilangan penambah maka pengurangan matriks B terhaap matriks A dapat diartikan sebagai penjumlahan matriks A dengan lawan matriks B, atau ditulis :

Dengan –B adalah lawan matriks B. Syarat agar dua matriks atau lebih dapat dikurangkan adalah matriks-matriks mempunyai ordo yang sama. Misalnya :

Jika  dan

Maka,