BAB I
I.I Pengertian Eksponen
Eksponen adalah bilangan berpangkat. Ada juga yang mengatakan bahwa eksponen merupakan perkalian yang diulang-ulang. Orang menulis eksponen dengan indeks di atas, yang akan terlihat sebagai berikut: xy. Terkadang hal itu tak mungkin. Kemudian orang menulis eksponen menggunakan tanda ^: 2^3 berarti 23.
I.II Sifat-sifat fungsi eksponen
Sifat-sifat bilangan berpangkat rasional. Jika a dan b bilangan real, p dan q bilangan rasional maka berlaku hubungan sebagai berikut :
1. 7.
2. 8.
3. 9.
4. 10.
5. 11.
Bentuk perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi disebut fungsi eksponen.
I.III Persamaan fungsi eksponen dan penerapannya
| 1. Bentuk |
Jika dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = 0
Contoh 7.1
Tentukan himpunan penyelesaikan dari :uu
- 3
Jawab:
a. 35x-10 = 1
35x-10 = 30
5x-10 = 0
5x = 10
X = 2
b.
(2x+5) (x-1) = 0
2x+5=0 x-1=0
X =- x= 1
| 2. Bentuk |
Jika dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = p.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
a.
b.
c.
Jawab :
a.
2x-1 = 3
2X = 4
X = 2
b.
2x-7 = -5
2x = 2
X = 1
c.
3x-10 = -5
3x = 5
X =
Latihan 1 :
1.
2.
3.
4.
5.
| 3. Bentuk af(x) = ag(x) |
Jika af(x) = ag(x) dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = g(x)
Contoh :
a.
b. 25X+2= (0,2)1-X
c.
Jawab:
a.
2(x2+x) = 3(x2-1)
2x2+2x = 3x2-3
X2 – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0
X = 3 x = -1
Jadi HP= { -1, 3 }
b. 25X+2= (0,2)1-X
5 2(X+2) = 5 -1(1-X)
2x + 4 = -1 +x
2x – x = -1 - 4
X = -5
Jadi HP = { -5 }
c .
3(x-4) = 5(x+2)
3x-12 = 5x+10
| 4. Bentuk |
Jika dengan a>0 dan a≠1, b>0 dan b≠1, dan a≠b maka f(x) =0
Contoh :
a.
b.
Jawab:
a.
x-3 = 0
x = 3
Jadi HP = { 3 }
b.
x2-5x+6 = 0
(x-6)(x+1) = 0
Jadi HP = {6,-1}
Latihan 2 :
1.
2.
3.
4.
5.
| 5.Bentuk |
Dengan memisalkan af(x) = p, maka bentuk persamaan di atas dapat
diubah menjadi persamaan kuadrat : Ap2 + Bp + C =0
Contoh :
a. 22x - 2x+3 +16 = 0
Jawab :
22x - 2x+3 +16 = 0
22x – 2 x.23 +16 = 0
Dengan memisalkan 2x = p, maka persamaan menjadi
P2 – 8p + 16 = 0
(p – 4)(p – 4) = 0
P = 4
Untuk p = 4 2x = 4
2x = 22
X = 2
Jadi HP = { 2 }
| pf(x) < pg(x) |
untuk p > 1 (tanda tetap) : f(x) < g(x)
untuk 0 < p < 1 (tanda dibalik) : f(x) > g(x)
Bentuk lain pertidaksamaan eksponen;
1) untuk a>1 dan af(x) ≥ ag(x) maka f(x) ≥ g(x) (tanda tetap)
af(x) ≤ ag(x) maka f(x) ≤ g(x) (tanda tetap)
2) untuk 0< a<1 dan a f(x) ≥ ag(x) maka f(x) ≤ g(x) (tanda dibalik)
af(x) ≤ ag(x) maka f(x) ≥ g(x) (tanda dibalik)
BAB II
II.I Pengertian Logaritma
| bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis) |
Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagaibloga = c.
Logaritma sebetulnya adalah bentuk lain dari pangkat. Kalau kalian ingin mengerti logaritma kalian harus paham dulu soal perpangkatan. Kalau belum paham perpangkatan disini akan dijelaskan sedikit untuk membantu kalian.
Bila an = b maka n = alog b
a = basis dengan a > 0 , a ≠ 1
b = Numerik dengan b > 0
Bentuk pangkat adalah seperti ini : 23= 8
artinya, 2 X 2 X 2 = 8
lihat angka 2 nya ada 3 kan, makanya disingkat jadi 23
rumus umum, ab= c , artinya a pangkat b sama dengan c.
B. Sifat-sifat Logaritma
| Logaritma | ||
| ac = b → ª log b = c | ||
| a = basis | ||
| b = bilangan yang dilogaritma | ||
| c = hasil logaritma | ||
| Sifat-sifat Logaritma | ||
| ª log a = 1 | ||
| ª log 1 = 0 | ||
| ª log aⁿ = n | ||
| ª log bⁿ = n • ª log b | ||
| ª log b • c = ª log b + ª log c | ||
| ª log b/c = ª log b – ª log c | ||
| ªˆⁿ log b m = m/n • ª log b | ||
| ª log b = 1 ÷ b log a | ||
| ª log b • b log c • c log d = ª log d | ||
| ª log b = c log b ÷ c log a | ||
| a log (c x d) = a log c + a log d |
| a log (c : d) = a log c - a log d |
| a log cd = d x ( a log c ) |
contoh: 2log 28 = 8 x (2log 2) = 8 x 1 = 8
| (a log b)(b log c) = a log c |
| (a log b) : (b log c) = a log b |
contoh: (7log 64) : (7log 2) = 2log 64 = 6
II.III Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan yang mengandung peubah x dalam tanda logaritma , di mana x sebagai bilangan suatu bentuk logaritma
a. Bentuk alog f(x) = alog m
Jika alog f(x) = alog m , maka f(x)= m
Contoh :
2log (x2-4x+5) = 1
Ø 2log (x2-4x+5) = 2log 2
Ø x2- 4x +5 = 2
Ø x2- 4x + 3 = 0
Ø (x -1)(x -3) = 0 Hp = {1,3}
b. Bentuk alog f(x) = blog f(x)
Jika alog f(x) = blog f(x) ; a tidak sebasis b; maka f(x) =1
Contoh :
2log (x2-x+1) = 5log (x2-x+1)
Ø x2-x+1 = 1
Ø x2-x = 0
Ø x(x-1) = 0
Ø x1= 0 atau x2 = 1 Hp = {0,1}
c. Bentuk alog f(x) = alog g(x)
Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x) dan f(x)> 0, g(x) > 0
Contoh:
Log (x2 +5x-7) = log (x-2)
Ø x2 + 5x- 7 = x-2
Ø x2 +4x-5 = 0
Ø (x +5)(x- 1) = 0
Ø x1 = -5 atau x2 = 1
untuk x1 harus di periksa f(x1) > 0 dan g(x1) > 0
untuk x2 harus diperiksa f(x2) > 0 dan g(x2) > 0
untuk x1 = -5 , f(-5) = -7 dan g(-5) = -5 maka x1 = -5 bukan penyelesaiannya
untuk x2 = 1 , f(1) = -1 dan g(1) =-1 maka x2 = 1 bukan penyelesaiannya
akibatnya HP={ }
d. Bentuk f(x)log g(x) = f(x)log h(x)
jika f(x)log g(x) = f(x)log h(x), maka g(x) = h(x) dengan syarat g(x) dan h(x) > 0
f(x) > 0 dan f(x) ≠ 0
contoh :
xlog x2 +5x -12 = 1
Ø xlog x2 +5x -12 = xlog x
Ø x2 + 5x -12 = x
Ø x2 +4x – 12 = 0
Ø (x+6)(x-2) = 0
Ø x1= -6 dan x2 = 2
periksa x1 dan x2 g(x) > 0
g(-6) = -6 , x1=-6 bukan penyelesaian
g(2) = 2 > 0 penyelesaian
maka Hp = {2}
e. Bentuk A(alog x)2 + B (alog x) + C = 0
Himpunan penyelesaiannya dengan a> 0 ; a≠ 1 ; A, B, C, € R dan A ≠ 0 dapat dinyatakan : Ay2 +By + C = 0 dengan y = alog x
Contoh :
2log2x – 3logx +1 = 0
Ø 2 (log x)2 – 3 log x + 1= 0
Ø 2y2 – 3y + 1 = 0
Ø (2y-1)(y-1) = 0
y= ½ atau y = 1
misal y= log x
untuk y= ½ , ½ = log x , x = 10½ =
y = 1 , 1 = log x , x = 101 = 10
C. Pertidaksamaan Logaritma
| a log f(x) < a log g (x) |
| 0 < a < 1 : di balik |
| a > 1 : tetap |
f(x) < g(x) .....(1) ................... f(x) > g(x)
Syarat : f(x) > 0 ....(2) dan g(x) > 0
untuk a > 1 : alog f(x) ≤ p, maka f(x) ≤ ap (tanda tetap)
alog f(x) ≥ p, maka f(x) ≥ ap (tanda berubah)
alog f(x) ≤ alog g(x), maka f(x) ≤ g(x) (tanda tetap)
alog f(x) ≥ alog g(x), maka f(x) ≥ g(x) (tanda tetap)
· untuk 0 < a < 1 : alog f(x) ≤ p, maka f(x) ≥ ap (tanda dibalik)
alog f(x) ≥ p, maka f(x) ≤ ap (tanda dibalik)
alog f(x) ≤ p, maka f(x) ≥ ap (tanda berubah)
alog f(x) ≥ p, maka f(x) ≥ ap (tanda berubah)
Bentuk lain pertidaksamaan eksponen;
1) untuk a>1 dan af(x) ≥ ag(x) maka f(x) ≥ g(x) (tanda tetap)
af(x) ≤ ag(x) maka f(x) ≤ g(x) (tanda tetap)
2) untuk 0< a<1 dan a f(x) ≥ ag(x) maka f(x) ≤ g(x) (tanda dibalik)
af(x) ≤ ag(x) maka f(x) ≥ g(x) (tanda dibalik)
DAFTAR PUSTAKA
Primagama.2008.Kumpulan soal-soal UMPTN.Lembaga pendidikan primagama.Surabaya
SSC.2008.Kumpulan soal-soal UNAS.Lembaga pendidikan SSC.Surabaya
Kirana Candra.2010.Strategi Khusus Menghadapi Ujian Nasional SMA/MA.Viva Pakarindo: Jawa Tengah
Anwar Cecep H.F.S. Matematika Aplikasi Untuk SMA/MA.JP Books : Jakarta.
Wirodikromo Sartono. 2006.Matematika.Erlangga:Jakarta
| 18 |
PENUTUP
Demikianlah makalah ini yang dapat kami buat. Apabila ada kesalahan dalam penulisan dan kata-kata, kurang dan lebihnya kami mohon maaf. Dan kami juga menyimpulkan mengenai materi tentang eksponen dan logaritma adalah sebagai berikut :
1. Fungsi eksponen dan logaritma adalah dua fungsi yang saling invers.
| |
Dengan : f (x) : fungsi eksponen
g(x) : funsi logaritma
2. Bentuk-bentuk persamaan eksponen :
1. Bentuk
Jika dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = 0
2. Bentuk
Jika dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = p.
3. Bentuk af(x) = ag(x)
Jika af(x) = ag(x) dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = g(x)
4. Bentuk
Jika dengan a>0 dan a≠1, b>0 dan b≠1, dan a≠b maka f(x) =0
3. Sifat-sifat fungsi eksponen
1. 7.
2. 8.
| 15 |
4. 10.
5. 11.
6.
4. Bentuk-bentuk persamaan logaritma :
a. Bentuk alog f(x) = alog m
Jika alog f(x) = alog m , maka f(x)= m
b. Bentuk alog f(x) = blog f(x)
Jika alog f(x) = blog f(x) ; a tidak sebasis b; maka f(x) =1
c. Bentuk alog f(x) = alog g(x)
Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x) dan f(x)> 0, g(x) > 0
d. Bentuk f(x)log g(x) = f(x)log h(x)
jika f(x)log g(x) = f(x)log h(x), maka g(x) = h(x) dengan syarat g(x) dan h(x) > 0
f(x) > 0 dan f(x) ≠ 0
e. Bentuk A(alog x)2 + B (alog x) + C = 0
Himpunan penyelesaiannya dengan a> 0 ; a≠ 1 ; A, B, C, € R dan A ≠ 0 dapat dinyatakan : Ay2 +By + C = 0 dengan y = alog x
5.Sifat-sifat logaritma :
| ª log a = 1 | |
| ª log 1 = 0 | |
| ª log aⁿ = n | |
| |
| ª log b • c = ª log b + ª log c | |
| ª log b/c = ª log b – ª log c | |
| ªˆⁿ log b m = m/n • ª log b | |
| ª log b = 1 ÷ b log a | |
| ª log b • b log c • c log d = ª log d | |
| ª log b = c log b ÷ c log a |
Tidak ada komentar:
Posting Komentar