kelompok 3 / 2010 / A

BAB I

PERSAMAAN LINGKARAN

1.      Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan tititk-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.

Dari gambar dibawah ini ,titik O adalah pusat lingkaran. Titik A,B,C,D terletak pada lingkaran, maka OA=OB=OC=OD adalah jari-jari lingkaran = r.

O

2.      Persamaan Lingkaran

a.      Persamaan Lingkaran dengan Pusat di O(0,0) dan jari-jari r

Jika Titik A( ) terletak pada lingkaran yang brpusat di O, maka berlaku OA= jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan rumus jarak titik O(0,0) ke titik A( ) diperoleh:

           OA =  r  =   +

                     =   (  – 0  + (  – 0

                       =    +

1

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r adalah:

                 

b.      Persaman Lingkaran Berpusat di Titik A(a,b) dan jari-jari r

Jika titk A(a,b) adalah pusat lingkaran dan titik B(x,y) terletak pada lingkaran, maka jari-jari lingkaran r sama dengan jarak dari A ke B.

      r   = jarak A ke B

      = (AB

          = (  -  + (

          = ( x – a  + ( y – b

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) dan berjari-jari r adalah:

( x – a  +  ( y - b  =

 

2

3.      Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang Persamaannya Diketahui         

Untuk menentukan pusat dan jari-jari lingkaran dapat dilihat pada table berikut :

Persamaan Lingkaran	Pusat	Jari-jari
x2 + y2 = r2	(0,0)	r
(x – a)2 + (y – b  =	(a,b)	r
x2 + y2 + Ax + By + C =0	(-  , -  )

4.      Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

a.      Posisi Titik P( ) terhadap Lingkaran

1.      Titik P( ) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku  

2.      Titik P( ) terletak pada lingkaran, jika berlaku

3.      Titik P( ) terletak di luar lingkaran, jika berlaku

3

b.      Posisi Titik P( ) terhadap Lingkaran ( x – a  + ( y – b  =   

1.      Titik P( ) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku (  - a  + (  - b    

2.      Titik P( ) terletak pada lingkaran, jika berlaku ( - a  + (  - b  

3.      Titik P( ) terletak di luar lingkaran, jika berlaku (  - a  + (  - b    

c.       Posisi suatu titik P(h,k) terhadap Lingkaran x² + y² + Ax + By + C =0

1.      Titik P(h,k) terletak di dalam lingkaran L             K < 0

2.      Titik P(h,k) terletak pada lingkaran jika L            K = 0

3.      Titik P(h,k) terletak di luar lingkaran L             K > 0

Dimana K = h² + k² + Ah + Bk + C =0

5.      Posisi garis terhadap lingkaran

Posisi garis terhadap lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan D.  Dimana D = b² – 4ac

1.      D > 0          garis memotong lingkaran di dua titik yang berlainan

2.      D = 0          garis menyinggung lingkaran

3.      D < 0          garis tidsk memotong maupun menyinggung lingkaran

4

BAB II

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

1.      Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

Posisi garis terhadap lingkaran ada tiga kemungkinan, yaitu garis yang memotong lingkaran di dua titik yang berbeda, garis yang tidak memotong lingkaran, dan garis yang memotong lingkaran di satu titik atu yang sering disebut garis singgung pada lingkaran.

a.      Persamaan Garis Singgung di Titik P ( ) pada Lingkaran

Garis singgung l menyinggung lingkaran  di titik P ( ) karena OP  garis l.

Mop .  = -1

      = -1

           =

          = -

            Persamaan garis singgungnya sebagai berikut:

y-

y-

 

       = -  

 

 =

       Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran  di ( ) ialah:

                                                            5

b.      Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (a, b) pada Lingkaran

(x - a  + (y - b  =  

Perhatikan gambar berikut:

     Gradien garis PQ adalah:

 =  =

     Gradien garis singgung l yang tegak lurus garis PQ adalah:

   = -1

   .  = -1

                                                 = -  = -  

6

Jadi persamaan garis l dengan gradien  dan memiliki titik Q(  adalah:

    y-  =  (x-

                            y-  = -

          (y-

y  + b = -(

y

y ……………(1)

untuk Q( ) terletak pada lingkaran (x - a  + , maka:

     

 

 

  ……………(2)

 Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

Y

y

7

     Sehingga persamaan garis singgung lingkarannya adalah:

c.       Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q( ) pada Lingkaran

   + Ax + By + C = 0

Dari persamaan garis singgung melalui titik Q( pada lingkaran  adalah:

                         

        

      

  = 0

 Misalnya A= -a, B= -b, dan C= , persamaannya menjadi:

  = 0

                   0

+ C = 0

 Maka persamaan garis singgung melalui Q( ) pada lingkaran

d.      Persamaan Garis Singgung Kutub (polar)

Jika melalui titik A( ) di luar lingkaran ditarik dua buah garis singgung pada lingkaran dengan titik singgungnya B( ) dan C( ), maka persamaan garis BC adalah  disebut garis kutub pada lingkaran dan titik dan titik A(

8

Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(  di zluar lingkaran dapat langkah-langkah:

·         Membuat persamaan garis kutub dari titik A( ) terhadap lingkaran

·         Melalui titik potong antara garis kutub lingkaran.

·         Membuat persamaan garis singgung melalui titik potong garis kutub dan lingkaran.

2.      Persamaan Garis Singgung yang Gradien Diketahui

a.      Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap lingkaran

Untuk persamaan garis singgung y = mx + n

 y  =  mx + n